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1、第九章 直线与圆的方程第 60 课 直线的斜率与倾斜角一、考纲要求：1、深刻认识在平面直角坐标系中确定直线的两个要素；2、理解直线的倾斜角及其斜率的概念，并深刻认识它们之间的关系；3、熟练掌握过两点直线斜率的计算公式。二、知识梳理回顾：1、直线的倾斜角：在直角坐标系中，一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角Q叫做直线的倾 斜角，我们规定与x轴平行的直线的倾斜角为0于是，a的取值范围是0,兀)。兀兀2、直线的斜率：当J丰-时，直线的斜率k二tan a，当a二-时，直线的斜率不存在。3、 经过两点P (x, y ), P (x , y )(x丰x )的直线的斜率k =；若x二x，则k，111
2、 2 2 2 1 2 1 2直线的状态是。解析：1、任意一条直线都有倾斜角，并且倾斜角是唯一的，除了垂直于 x 轴的直线外，所有直线都有斜率，并 且唯一。垂直于x轴的直线不能用斜率求解，可以由图形求解。,兀k相应地从0增大到+x ；2、直线的斜率k与倾斜角a的关系为k = tan a a丰一 2丿当a从t兀时，k相应地从g增大到0。实质上是正切函数y = tan a在aw0,兀)且么h 上的单调性。3、深刻理解经过两点P (x, y ), P (x , y )(x丰x )的直线的斜率是P (x , y ), P (x , y )两点在y轴上1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2
3、投影的坐标差与在x轴上投影的坐标差的比值，求它们差的方向”要一致。三、诊断练习：1、教学处理： 课前由学生自主完成 4 道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅 部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学 生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。2、诊断练习点评：题1、经过点A(0,0), B)的直线l的斜率k二，倾斜角a =。【分析与点评】(1)由斜率公式得斜率k =，从而倾斜角a二60。(2)由斜率求倾斜角，本质是已知正切的函数值，求在区I间0,兀)内的角；已知倾斜角求斜率，本质是求一个在0,兀)内的角的正切值
4、，须注意角不能等于兀。解决这两类问题的关键在于熟记特殊角的三角函数2值。(3)应用直线的斜率公式时，一定要首先判断两点的横坐标x与x是否相等，若相等，则斜率不存在； 12若不相等，再用公式求斜率；若不能确定，就必须进行分类讨论。题2、已知点P（2,m）, Q（m,4 ），且直线PQ的斜率为1,则实数m的值为。【分析与点评】由斜率公式得到关于m的方程，解得m = 1。题3、若三点A（4,3）,B（5,a）,C（6,5）在同一条直线上，则a 。【分析与点评】本题改编自课本习题。目的在于应用斜率公式来解决与斜率相关的数学问题。可提问：（1）求变量的值，关键在于建立等量关系，本题如何建立关于a的等量关
5、系？你有哪些思路？由此可得 到解决本题的几种思路：利用斜率相等；利用两点间的距离；利用向量关系；由两点得到直线方 程，第三点满足方程。由此可得到a 4。（2） 【变式】若三点A （4,3 ）, B（5, a ）, C （6,5 ）构成三角形，则a的取值范围是。5兀、，题4、若一条直线的倾斜角a w ，则这条直线的斜率k e。I 6 3丿【分析与点评】（i）k与a之间的联系是什么？求k的范围的本质是什么？（2）由角的范围去求它的正切的范围时，可以采用“以形助数”的方式来解决，同时注意端点的取舍问 题。3、要点归纳：（1）应用涉及到斜率的有关问题或用斜率来处理问题时，要树立“斜率存在的意识”，也就
6、是要有分类讨 论的意识。（2）由倾斜角的范围研究斜率的范围或由斜率的范围去研究倾斜角的变化范围，要注重数形结合法的应 用，以形助数，辅助分析，帮助理解。四、范例导析：例1、已知一条直线的斜率k eT1J3丿，求直线倾斜角a的取值范围。【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评。在学生遇到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。【引导分析与精讲建议】提出下列问题与学生交流：问题1、本题的本质是什么？（确定研究方向）问题2、怎样由正切的值（或值域）来研究角的值（或取值范围）？关键点在哪里？（一是确定端点的值，二是确定变化规律）3兀由
7、 k tan a e1,0）时，得 a e ，兀；L 4丿当 k tan a e0,得 a e 0,L 3丿问题3、你有什么好的方法来确定角的变化规律？ （数形结合法）例2、已知A（m,m 3）,B（2,m 1）,C（1,4 ），直线AC的斜率等于直线BC斜率的3倍，求实数m的值。【教学处理】要求学生独立思考并解题，并请学生板演，教师进行点评。 【引导分析与精讲建议】提出下列问题请学生思考：问题1：本题中的直线的斜率一定存在吗？为什么？ 问题2:求出的实数m有什么样的要求？（保证斜率存在）7 + m5 一 m,由3 x解得m 1或2。1 m3【点评】本题要求熟练、正确使用斜率公式，求出的m的值
8、要使公式有意义。【变式】已知直线经过点P(2a,3b)和Q(4b,6a)，且a丰0，求直线的斜率。例3、已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,3),B(3,0)为端点的线段AB有公共点，求直线l斜率的取 值范围。【教学处理】指导学生圈出题中的关键词,画图并独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程。 【引导分析与精讲建议】提出下列问题与学生交流：问题1:从你所画出的图形中，直线l要与线段AB有公共点，直线l应该如何旋转变化？问题2:直线l在连续旋转变化时，它的斜率是不是也连续变化？ 由k二1,k二0得直线l的斜率的取值范围是【0,1。PAPB【点评】本题要求熟练地掌握直线的斜率的变化规律与
9、直线的旋转变化之间的关系。【变式】已知直线l过点P(1,0)，且与以M (2,3),N(2,2)为端点的线段MN有公共点，求直线l斜率 的取值范围。五、当堂反馈：1、若一条直线的倾斜角是钝角，则这条直线斜率的取值范围 。【分析与点评】由k = tan a, a e ，兀 得k 0。2、光线射到x轴上并反射，已知反射光线的倾斜角是150。，则入射光线的斜率为故入射光线的斜率为【分析与点评】根据光线反射定律得入射光线的倾斜角为30。，3、 斜率为2的直线过(3,5), (a,7 ),(1,b)三点，则a =，b =。7 5 b5【分析与点评】由=2得a = 4, b = 3。a 3 1 3c兀从而
10、倾斜角的范围为0,/U4(2丿4、 已知直线l的斜率k = 1 m2(m e R)，则k的取值范围是，倾斜角的范围 【分析与点评】由k = 1 m2(m e R)得k 1,六、解题反思：1、直线的斜率与直线的倾斜角都是刻画直线的倾斜程度的量，倾斜角是从“形”的角度来刻画倾斜程度 而斜率是从“数”的角度来刻画倾斜程度；它们是一个问题的两个不同的表现形式，它们之间既相互联系， 它们统一于任意角的三角函数定义，同时，它们也有一定的区别，任何直线都有倾斜角，它的范围为【0,兀)，但并不是所有直线都存在斜率，垂直于x轴的直线不存在斜率，它的范围是R ；2、在研究直线的斜率与直线的倾斜角的关系时，它的本质是由定义域研究值域或由值域研究定义域的问 题，具体操作时，要注意数形结合思想的应用，通过正切函数在【0,兀)内的图象来确定问题的答案，如诊断练习中的题4，例1 的研究方法；3、研究直线的斜率时，要树立“斜率存在的意识”，注意分类讨论思想的应用，如例2的变式。(执笔:江苏省高邮中学 邹广银)
