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1、直线与方程中的数学思想方法摘要 中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，现行数学教材的编排是沿知识的纵向展开的，数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，没有明确的揭示和总结。这样就产生了如何处理数学思想方法教学的问题。关键词 直线与方程 数学思想方法 所谓数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是数学思维的结晶和概括，是解决数学问题的灵魂和根本策略；而数学方法则是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预
2、言的方法，数学思想和数学方法合在一起，称为数学思想方法。数学思想方法对数学教学有着重要的促进和指导作用，它不仅是学生形成良好认知结构的纽带，还是由知识转化为能力的桥梁，是培养学生数学意识，形成优良思维素质的关键，因此我们在教学过程中要有加强数学思想方法教学的意识并要在数学教学过程中不断地挖掘和渗透。在本章的教学与解题中会涉及到这六种数学思想方法：1数形结合的思想数形结合是一个重要数学思想方法，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它的显著特点是直观形象，从外形上给人提供若干解决问题的信息，从而活跃人的思维，进一步达到解决问题的目的。数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决
3、定了几何图形的性质。其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数与数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范、严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。例1设k、a是实数，要使关于x的方程|2x-1|k（x-a）a对于k的一切值都有解，求：实数a的取值范围。O C（，0） xl2l1y解：在直角坐标系中分别画出l1：y|2x-1|和l2：yk（xa）+a的图象如图所示,其中l2是过点M（a，a）且斜率为k的直线系，l1是折线y
4、2x-1（）和y-2x1（）。由图形的直观性可知要使原方程对于k的一切值都有解的几何意义是直线l2绕点M(a，a)旋转时都与折线l1相交，则点M必须位于过点C（，0）的两条射线上或射线的上方。 例2已知定点A（1，1），B（3，3），动点P在x轴上，若APB取得最大值，则点P的坐标是（ ）O P xByAA这样的点P不存在 B（，0）C（，0） D（，0）分析：由A、B两点坐标及位置特点，可以看出动点P在x轴正半轴上的某个位置可能使APB取得最大值，此题若设P（x，0），用到角公式表示出tanAPB，再求使之取得最大值时的P点坐标，这样显然比较繁。而利用平面几何中的圆外角小于圆周角，设过AB且
5、与x轴正半轴相切的圆与x轴的切点为P，（如图）则点P即为所求的点，而|OP|2|OA|OB|6。|OP|，点P （，0），故选D。2化归思想化归是指转化和归结的意思。在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为化归思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。数学方法论中的化归原则是指把将来解决或待解决的问题，通过某种途径进行转化，归结为已解决或易解决的问题，最终使原问题比较简单就可解答的一种方法，化归的核心内容就是“转化”：将“繁”转化为“简”，将“难”转化为“易”，将“未知
6、”转化为“已知”，将“陌生”转化为“熟悉”。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂、繁琐的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、公式化的简单问题来解决。例3求函数的最小值。yA（0，1）O P（x，0） xB（2，2）A（0，1）分析：此函数的定义域为R，如果从代数的角度考虑比较复杂； 如果借助于两点间的距离公式转化为几何问题，则非常的容易（如图）。解：令A（0，1）、B（2，2）、P（x，0），则问题转化为：在x轴上求一点P（x，0），使得|PA|PB|取得最小值。A（0，1）关于x轴的对称点为A（0，-1），根据对称性：|PA|P A|（|PA|PB|）minAB即该函数的最小值为。3函数、方程
7、、不等式思想函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。函数与方程是研究数量关系及变化规律的数学模型，它能从数量关系的角度准确而清晰的认识、描述、把握现实，不仅将代数的知识串在一起，同时在几何图形、数量关系问题中发挥作用, 是连接基础知识和基本技能的纽带。函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，来分析和研究数学问题中的数量关系，通过建立函数关系或构建函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。方程的思想是分析数学问题中的变量间的度量关系来建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。函数思
8、想与方程思想是密切相关的；对于函数yf（x），当y0时，就转化为方程f（x）0；也可以把二元方程y-f（x）0看作函数式yf（x）。这样函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决。函数与不等式也可以相互转化，对于函数yf（x），当y0时，就转化为不等式f（x）0，借助于函数的图象与性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。例4两条平行直线分别过点P（-2，-2）、Q（1，3），它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕点P、Q旋转并互相保持平行。（1）求d的变化范围；（2）求用d表示这两条直线的斜率；（3）当d取最大值时，求这两条直线的方程。解：（1）当过点P
9、、Q的两条的斜率为0时，d5；当这两条的斜率不存在即与x轴垂直时，d5当斜率k（k0）存在时,设l1：y2k(x2)；l2：y-3k(x-1)由平行线间的距离公式 整理得关于k的方程：（d2-9）k230kd2-250有解，由9004（d2-9）（d2-25）0，解得：0d。 综上所述，d的变化范围为：0d（2）由（1）中（d2-9）k230kd2-250得（3）由（1）中0d可知当d时， l1：y2(x2)；l2：y-3(x-1)。4分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的
10、数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人们思维的条理性和概括性。分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。在遇到含有参数的数学问题求解时要注意运用分类讨论的数学思想求解。例5求与点P（4，3）的距离为5，且在两坐标轴的距离相等的直线方程。解：（1）若截距a0，可设直线方程为：，即xy-a0由已知：可得。 所求直线方程为或（2）若截距a0，由于OP所在的直线方程为：，且|OP|5。 所求直线方程为综上所述，所求直线方程为：或
11、或4x+3y=0。例6讨论直线l：3x4ym0与圆C：x2y2-2x0的位置关系。分析：先求得圆C的圆心C（1，0）和半径r1，再得圆心C到直线l的距离， 最后按dr、dr、dr三种情况讨论直线与圆相交、相切、相离时的m取值范围。解：当，即-8m2时，直线与圆相交；当，即m-8或m2时，直线与圆相切；当，即m-8或m2时，直线与圆相离。5待定系数法待定系数是一种常用的数学方法。对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，通过解该方程或方程组求得待定的系数。例7已
12、知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过一定点P（6，-2），求直线l的方程。解法1：设直线l的方程为，直线l经过点（6，-2），。又ab1代入，整理得b2-3b20解得b11，b22，a12，a23。则所求的直线方程为：x2y-20或2x3y-60。解法2：设所求直线l的斜率为k，因为直线l过定点P（6，-2），于是直线l的方程为：y2k（x-6），即。由题意得：，或。 直线l的方程为：或即直线l的方程为：x2y-20或2x3y-60。6参数思想参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。参数的作
13、用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系，体现了近代数学中运动与变化的思想。参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。例8过点P（2，1）作直线l，与x轴y轴正半轴分别交于A、B两点，求：|PA|PB|的最小值及此时直线l的方程。yO B xP（2，1）A解：设直线AB的倾斜角为（），则直线的参数方程为令x0得B点所对应的参数，令y0得A点所对应的参数；|PA|PB|当时|PA|PB|有最小值4，此时直线l的方程为即 直线l的方程为：xy-30。 （注：此题还可用斜率作为参数） 在中学数学教学大纲中明确指出：数学基础知识
14、是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想方法。数学思想和方法被纳入基础知识范畴，足见数学思想方法的教学问题已经引起教育部门的重视。从心理发展规律看，初中学生的思维是以形式思维为主向辨证思维过渡，高中学生的思维则是辨证思维的形成。进行数学思想方法教学，不仅有助于学生从形式思维向辩证思维过渡，而且是形成和发展学生辩证思维的重要途径。从学习迁移角度看，数学思想方法有利于学生学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以极大地提高学习质量和学习能力。布鲁纳认为 “学习基本原理的目的，就在于促进记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见，数学思想方法作为数学学科的“一般原理”，在教学中是至关重要的。对于中学生，不管他们将来从事什么学习和工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学思想方法将随时随地发生作用，使他们受益终生。参考文献1 普通高中课程标准实验教科书（A）(必修)数学2 人民教育出版社2 曾文强 福建教育学院学报，2006，06期3 陈英和 认知发展心理学浙江人民出版社，1996.124 沈文选 中学数学思想方法湖南师范大学出版社，1999.45 陈东旭 金太阳系列丛书高考热点、重点、难点专题透析吉林文史出版社1
