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1、浅谈巧用数形结合探寻解题思路 【摘要】：培养学生数学问题解决能力是数学教学工作的重要目标之一。本论文选取“数形结合”这一在中国数学界广为流传的习语作为论题，从集合，函数，方程，不等式，数列，几何等方面将“数”转换为“形”，再由“形”解决“数”的问题，从而将复杂的数学问题直观化，简单化，使学生易于接受和理解。 【关键词】：数形结合;问题;运算;图像数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。所谓数形结合思想，就是根据已知条件，作出或构造出相应的
2、图形或图象，通过对图形或图象的分析来解决问题的方法。著名的数学家华罗庚先生说过：数形结合千般好，隔裂分离万事休。有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法。一、 解决集合问题在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例1 定义集合A-B=x|x属于A且x不属于B，则对于集合M，N，求M-(M-N)图2图1解析：利用Venn图，先求出M-N，如图1所示阴影部分；再求M-(M-N)，如图2所示阴影部分。故结果应为M与N的交集。二、解决函数问题借助于图象研究函数的性质
3、是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。例2. 求函数的最大值和最小值解析：这可以看作是定点A（3，2）与单位圆上的点P（cosx,sinx）连线的斜率，如图所示：因此，y的最值就是直线AP与单位圆相切时的斜率。单位圆x2+y2=1中斜率为k的切线方程为 由于该切线过点A（3，2），故 三、解决方程问题处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题。例3. 方程的实数根的个数是( ).o1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3解析：如图在同一直角坐标系内分别 画出函数 和的图象,由于, 那么中的. 显然知两个函数曲线相交有三个交点。
4、 故选(C) 四、解决不等式的问题处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。例4. 若不等式ax+的解集是(4,b),求a,b的值.解析：本题中含有参数a,b,为避免繁杂的讨论，可借助函数图象，因此需构造已知函数.设y1=,它的图象是经过原点的函数y=x的图象，设y2=ax+(x0),它的图像是经过定点(0,),斜率为a的一条射线，如图所示，不等式ax+的解为当y1=的图象在y2=ax+(x0)的图象上方时，相应的x的取值范围，因为不等式解集为(4,b),故方程=ax+有一个解为4，代入方程，得a=,再求方程=x+的另一个解为x=36,即b
5、=36.五、解决数列问题数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。例5. 设等差数列an的前n项和为Sn，已知S120，S130，指出S1、S2、Sn、中哪个值最大，并说明理由.解析：Sn=na1+d=n2+(a1)n是关于n的二次函数，S120，S130，可见d0，记f(x)=x2+(a1)x,f(x)的图像是开口向下，且过原点的抛物线(如图)，它与x轴的另一个交点横坐标x0区间(12，13)，而图像的对称轴是直线x=,区间(6，6.5)，由于抛物线
6、上距对称轴越近的点，纵坐标越大，而自然数6，7这中，6离对称轴近，所以S6最大.六、解决解析几何问题解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。例6. 在椭圆C：上求一点，使它与两焦点的连线互相垂直。 解析：在求出焦点的坐标F1(-5,0),F2(5,0)后，设点M是所求的点，根据 ，再由勾股定理，可求出点M的坐标。把问题中代数关系赋予几何意义：如图，以C的两焦点的连线段为直径作圆O：x2+y2=25。易知圆O上任一不在X轴上的点M，都有，曲线C与O的交点A（3，4）、B（3，4）、C（3，4）、D（3，4）就是所求的点。 总
7、之，“数”和“形”是数学学习的两个基本对象，对于一些问题，单纯的从“数”的角度去分析探求需要分类讨论，运算会较繁冗，因此应当设法从“形”的角度去构造直观图形来刻画问题的条件和结论，使错综复杂的关系变得清晰可辨，解题思路顿开。本文仅针对数学知识的几个方面讨论“数形结合”，而“数形结合”的题型远不止这些，曲线与方程、区域与不等式、函数与图象、三角函数与单位圆中的三角函数线，复数与向量都有内在的联系，而数形结合则是具体与抽象、感知与思维的结合，是发展形象思维与抽象思维一并使之相互转化的有力“杠杆”。我们应根据题目的结构特征，提倡使用“数形结合”。【参考文献】1 袁桂珍. 数形结合思想方法及其运用J. 广西教育 , 2004,(15)2 张亮. 数形结合法的几个应用J. 井冈山师范学院学报 , 2003,(05) 3 莫红梅. 谈数形结合在中学数学中的应用J. 教育实践与研究 , 2003,(12) 4 施献慧. 数形结合思想在数学解题中的应用J. 云南教育 , 2003,(35) 5 王银篷. 浅谈数形结合的方法J. 中学数学 , 2004,(12) 6
