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1、 钢管订购和运输摘 要管道铺设问题是典型的规划类问题。本题将交通网络线图给定，通过非线性规划实现管道铺设总费用最低。针对问题一，本文考虑钢厂在分配过程中必须先要到达站点，再进行钢管铺设位置的具体设定。首先运用Dijkstra算法合理选择钢厂到达各站点最短路径，再人工计算各路线单位钢管的运费。在站点钢管分配过程中，合理假设钢管的来源只选择与之相邻站点的钢管。本文将管道线路单纯看为一个方向（左右），每个站点都可以向两边铺设，铺设过程中保证相邻两个站点都能将站点间区域铺设完全，在该条件下计算的结果为： 表1-1: 钢厂承包管道铺设钢管数（单位：）厂号1234567钢管数800800100001289
2、12820总费用：万元针对问题二，本文将分配矩阵各元素组成一组数列，利用这组数列的方差相对改变量来刻画购运计划的改变程度。钢厂销价和钢厂产量上限同步影响模型求解，本文将各钢厂钢管销价同步上调10%，将产量上限分别上调300单位钢管。据结果分析得：3号钢厂销价的变化，对总费用的影响最大。而5号钢厂销价的变化，对购运计划的影响最大。此外，7号钢厂销价的变化对总费用没有影响，却对购运计划影响较大。1号钢厂上界的变化，对总费用影响最大，而2号钢厂上界的变化对购运计划影响最大。从企业经济方面考虑，可知，铺设管道的总费用对1号钢厂的依赖性较大。针对问题三，站点网络的设计使问题一的树形结构复杂化，使管道铺设
3、一般化。本文将所有站点组成的网络看成对无向赋权图，沿用问题一中关于管道铺设的基本假设：管道线路上管道来源于与之相邻的站点。则相邻两个站点可以将站点之间的管道铺设完整。建立非线性规划模型，得到表1-2结果: 表1-2: 钢厂承包管道铺设的钢管数（单位：）厂号1234567钢管数800800100008032000500总费用：万元关键词：非线性规划、Dijkstra算法、方差相对改变量、无向赋权图一、 问题重述1、背景知识管道运输作为一种长距离运送液体和气体物资的一种运输方式，是统一运输网中干线运输的特殊组成部分。管道运输不仅运输量大、连续、迅速、经济、安全、可靠、平稳以及投资少、占地少、费用低
4、，并可实现自动控制。除广泛用于石油、天然气的长距离运输外，还可运输矿石、煤炭、建材、化学品和粮食等。管道运输可省去水运或陆运的中转坏节，缩短运输周期，降低运输成本，提高运输效率。因此，合理选择钢管运输方式、安排管道路线是一项十分经济且实用的工作。2、问题重述要铺设一条的输送天然气的主管道, 如图一所示。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要
5、生产500个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量为个单位，钢管出厂销价1单位钢管为万元，如下表：1234567800800100020002000200030001601551551601551501601单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)300301350351400401450451500运价(万元)2023262932里程(km)5016006017007018008019009011000运价(万元)37445055601000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（
6、不只是运到点，而是管道全线）。（1）制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）就（1）的模型分析：分析哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。B17B16B15B14B13B11B12B10B9B3B7B6B5B4B8B2B1A13258010103120124270108810706270302020304501043017
7、506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A911A11A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001
8、200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A11A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)图二二、基本假设1.管道上每一单位钢管都有机会从任意一个钢厂中选择钢管；2.管道上每一单位钢管都有机会从任意一个站点接受钢管；3.管道上每一单位钢管只接受与他最近的站点所发出的钢管；4.可以允许某些钢厂退出这次钢管铺设工程；5.为了保证钢厂盈利，每个钢厂承包的轨道长度必须大于500个单位；6.钢厂每到一个站点都是选择运费最少路线；7.每个钢厂只生产所需数量的钢管；8.站点分配钢管是从该站点向两侧（或一侧）出发且连续的。三、参
9、数说明1.：离距离为的单位管道；2.：第单位管道选择的钢管是从第个站点发出的；3.：第单位管道选择的运输方法是从第个钢厂先运到第个站点，在再运到第单位钢管所在位置；4.：单位运费矩阵；5.：第个站点与站点之间的距离；6.：第个钢厂承包的管道单位；7.：钢厂供应量和供应方案矩阵；8.：钢管运输的总运费；9：管道设置所需的钢管成本费用；10：管道设置的总费用；11：站点铺向左侧的钢管单位数；12：站点铺向右侧的钢管单位数；13：所有站点运往的钢管单位数；14：与之间的距离；15：标准差相对改变量16：铺向的钢管单位数四、问题分析 图4-1管道铺设的总费用主要包括钢管成本费用和钢管运输费用。每个钢厂
10、钢管销价是不同但是是已知确定的，若每个钢厂发出的钢管数已知，则钢管成本费用就可以确定。而对于运费来说，运费的多少主要取决于钢管运送路径的选择。仅铁路运费而言，铁路运输单价不是固定不变的，所以不能实现路段总费用为单独路段费用的简单相加，要想实现总费用计算的简便，首先要使铁路运输单价固定。求解在一条无尽头铁路上每段铁路单独单价：铁路长度0300300500500700700800800对应路段单价（）0.0670.060.070.060.05 表4-1当铁路总长度为800时，此时相对平均单价为： 当铁路总长度大于800时，仅看多余800的部分，这些铁路路段的单价为：铁路在一定区域内总长是有限的，对
11、于管道铺设来说，所需铁路长更是有限，本文将800范围内铁路出现的概率设为，则本文将铁路单价规定为： 对于给定的线路图来说，连接点的个数已知，且每个点之间的距离、铁路/公路单价都已给定，选取特定路径则运费可以求解。需要注意的是，两个连接点之间的通道不是只有一条，可能有多条也可能不通，在这种情况下，为了使最终选取的总费用是最低的，首先保证在这些路段中选取的通道是所有通道中费用最低的一条。本文运用Dijkstra算法可以求解。钢厂运送钢管到达预设轨道，必先经过给定的站点，因此，为保证运费尽可能小，则首先保证钢厂到达每个站点所选择的路径是所有可选路径中运费最少的一条，而之后各钢厂在进行钢管运输时都是从
12、这些特定路径上选择而不会考虑其他路径，通过这一规定，大大减少了模型的选择条件1。问题一对于每一单位轨道运输方式的选择，假设2将每种运输方式都充分考虑在内。假设管道方向一致（按左右方向延伸），本文将看做起点，每个站点沿管道方向与的距离已知，记为。管道方向一致，可以累加计算出钢管线路总长，将该管道线路分成5171等分，每一份表示一单位钢管，管道上任一单位的钢管都可以计算出与各个站点的距离，则运费就可以具体表示出来。此种建模方法虽然考虑比较充分但是计算量非常庞大，运用特定的计算机软件不能在短时间内得到结果，则需要对假设条件作进一步改进：假设3说明每一单位的钢管只接受相邻两个站点的钢管，忽视其他站点对
13、该单位管道的供应，该假设也具有相当的现实意义。经验告诉我们：如果管道只接受相邻两个站点的钢管，也就可以理解为每一个站点都只供应与之相邻的某个特定区域。在这些选择中确定一种方案是运费和钢管成本费用最小。该种改进需要特别注意每两站点之间钢管在铺设的过程中也是需要计算运费的。问题二该问题可以分为两小题：（1）销价对购运计划和总费用的影响；（2）钢厂产量上限对购运计划和总费用的影响。对于问题（1），当销价给定，通过模型一的求解可以具体计算出钢管购买、运输方案和总费用，因此，若将各钢厂的销价按相同比例上调（本文取各钢厂将销价上调10%），通过问题一模型求解，根据结果判断购运计划和总费用的变化情况。矩阵表示钢厂对于各个站点的钢管供应矩阵，本文用该矩阵前后个元素方差来刻画购运计划改变程度的大小，方差越大，改变越明显，对应钢厂销价对购运计划影响越大；方差越小，该钢厂销价改变对购运计划影响越小。总费用在给定具体数据的情况下就可以实际求解，从该方面也可以很清晰地看出哪一个钢厂于销价的制定策略对于管道市场的影响作用最大。对于问题（2），每个厂的钢管供应上限发生变化，也就是说钢厂的生产能力发生了变化。从经济学角度来说，生产能力提高直接影响生产成本的减少，从而形成自己的价格竞争优
