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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)三弄函数不等式exx+1由不等式exx+1生成高考试题的视角 函数不等式exx+1简单易证,不仅具有明显的几何意义,而且蕴涵着微积分的“以直代曲”基本思想,由她已生成一类绝妙的高考试题,我们现在关心的是由她生成高考试题的可能视角.母题结构:()求证:exx+1,当且仅当x=0时,等号成立;()当xR时,若不等式:exax+1恒成立,则a=1;当x0时,若不等式:exax+1恒成立,则a1.母题解析:()令f(x)=ex-(x+1),则(x)=ex-1;当x(-,0)时,(x)0f(x)在(0
2、,+)上单调递增;综上,fmon(x)=f(0)=0f(x)0exx+1,当且仅当x=0时,等号成立;不等式exx+1的几何意义是函数y=ex的图像不在切线y=x+1的下方;()令g(x)=ex-(ax+1)(xR),则(x)=ex-a;当a0时,(x)0g(x)在(-,0)上递增g(x)g(0)=0ex0时,g(x)0g(x)g(0)当x=0时,g(x)取得最小值;由(x)=ex-a=0x=lna=0a=1;令g(x)=ex-(ax+1)(x0),则(x)=ex-a;当a1时,g(x)在(0,lna)上单调递减g(x)g(0)=0ex(ax+1),不合题意;当a1时,(x)0g(x)在0,+
3、)上单调递增g(x)g(0)=0exax+1.故a1;不等式:exax+1恒成立的几何意义是直线y=ax+1的斜率a不大于切线y=x+1的斜率1. 1.一弄:证明不等式 子题类型:(2007年辽宁高考试题)已知函数f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,g(x)=(x).()证明:当tk时,g(x)在闭区间a,b上是减函数;()证明:f(x).解析:()由g(x)=e2x-t(ex+1)+x(x)=2e2x-tex+1=ex(2ex+e-x-t);又由2ex+e-x2当t0g(x)在R上是增函数;()由g(x)在闭区间a,b上是减函数当xa,b时,(x)02ex+e-x-t0;令
4、h(x)=2ex+e-x,则(x)=2ex-e-xh(x)在(-,-ln2)上单调递减,在(-ln2,+)上单调递增,故只需取k=maxh(a),h(b);()由f(x)2t2-2(ex+x)t+e2x+x2-0=4(ex+x)2-8(e2x+x2-)0(ex-x)21;由exx+1ex-x1(ex-x)21f(x);点评:指数不等式exx+1不仅具有放缩功能,更重要的是把指数式ex放缩为简单的一次式x+1;因此,她在证明有关ex的不等式中,具有化繁为简的关键作用;构造以不等式exx+1为基础的证明不等式试题是高考的一个命题视角. 2.二弄:不等式恒成立 子题类型:(2010年课标高考试题)设
5、函数f(x)=x(ex-1)-ax2.()若a=,求f(x)的单调区间;()若当x0时,f(x)0,求a的取值范围.解析:()当a=时,由f(x)=x(ex-1)-x2(x)=ex-1+xex-x=(x+1)(ex-1),由此列表如下:由表知,f(x)在(-,-1)和(0,+)上单调递增,在(-1,0)上单调递减;()当x0时,f(x)0当x0时,x(ex-1-ax)0当x0时,ex-1-ax0exax+1;令曲线C:y=ex,直线l:y=ax+1,则直线l与曲线C恒交于点A(0,1),曲线C在点A处的切线:y=x+1a1a的取值范围是(-,1.点评:以指数不等式exx+1为背景的不等式恒成立
6、问题有:当xR时,exax+1恒成立,则a=1;当xR时,exx+b恒成立,则b1;当x0时,exax+1恒成立,则a1;当x0时,exx+b恒成立,则b1.构造以不等式exax+b为背景的不等式恒成立问题是高考的一个重要命题视角. 3.三弄:研究函数性质 子题类型:(2012年湖南高考理科试题)已知函数f(x)=eax-x,其中a0.()若对一切xR,f(x)1恒成立,求a的取值集合;()在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)(x1k成立？若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明理由.解析:()令ax=t,则f(x)1ett+1=1a=1.a的取值集合为1
7、;()由k=-1;令g(x)=(x)-k=aeax-,则g(x1)=-e-a(x2-x1)-1,g(x2)=e-a(x1-x2)-1;当x0时,由exx+1e-a(x2-x1)-10,e-a(x1-x2)-10g(x1)0,又(x)=a2eax0g(x)在(x1,x2)內单调递增存在唯一c(x1,x2),使得g(c)=0c=ln当且仅当x0(ln,x2)时,g(x0)0存在x0(x1,x2),使(x0)k成立,此时,x0的取值范围是(ln,x2).点评:利用指数不等式exx+1可求含有ex的函数的最大或最小值,函数的取值符号,函数的单调性(导函数的取值符号)等,灵活运用指数不等式exx+1是高
8、考的一项要求,着意于指数不等式exx+1的灵活运用是高考的又一命题视角. 4.子题系列:1.(2014年课标高考试题)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线为y=e(x-1)+2.()求a,b;()证明:f(x)1.2.(2010年全国高考试题)设函数f(x)=1-e-x.()证明:当x-1时,f(x);()设当x0时,f(x),求a的取值范围.3.(2013年山东高考试题)设函数f(x)=+c(e=2.71828是自然对数的底数,cR). ()求f(x)的单调区间、最大值;()讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.4.(2013年课标高考试题)设函
9、数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.()求a,b,c,d的值;()若x-2时,f(x)kg(x),求k的取值范围.5.(2013年辽宁高考理科试题)已知函数f(x)=(1+x)e-2x,g(x)=ax+1+2xcosx.当x0,1时,()求证:1-xf(x);()若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.6.(2012年湖南高考文科试题)已知函数f(x)=ex-ax,其中a0.()若对一切xR,f(x)1恒成立,求a的取值集合;()在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)
10、,B(x2,f(x2)(x11exlnx+1(xlnx+)exx;令g(x)=xlnx+(x)=1+lnxgmin(x)=g(e-1)=;只需证ec-1x,即exx+1.2.解:()当x-1时,由f(x)(x+1)(1-e-x)xexx+1;()当x0时,f(x)=1-e-x0f(x)0ax+10a0;由f(x)(ax+1)(1-e-x)x(e-x-1)(ax+1)+x0;令g(x)=(e-x-1)(ax+1)+x,则g(0)=0,(x)=e-x(a-1-ax)+1-a;当0a时,由exx+1-x1-ex(x)e-xa-1+a(1-ex)+1-a=(2a-1)(e-x-1)0g(x)g(0)=
11、0;当a时,由e-x1-x-xe-x-1(x)=e-x(a-1-ax)+(1-a+ax)-ax(e-x-1)(a-1-ax)+a(e-x-1)=(e-x-1)(2a-1-ax)当x(0,)时,(x)0g(x)x+1e2x(x+1)2x(2x-1)-e2xx(2x-1)-(x+1)2=x2-3x-10(x)0g(x)在(1,+)上单调递增;又gmin(x)=g(1)=-e-2,故当c-e-2时,根的个数为2.4.解:()由f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)(x)=2x+a,(x)=ex(cx+c+d);由曲线y=f(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线
12、y=4x+2f(0)=g(0)=2,(0)=(0)=4b=d=2,a=c+d=4a=4,b=2,c=2,d=2;()由()知:f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1);当x=-1时,f(x)kg(x)成立;当x-1时,f(x)kg(x)k;由exx+1=1(当且仅当x=0时,取等号)k1;当-2x0hmin(x)=h(-2)=e2ke2.综上,k的取值范围是1,e2.5.解:()当x0,1时,由1-xf(x)1-x(1+x)e-2x(1+x)e-x(1-x)ex;令h(t)=(1-t)et,t-1,1,则(t)=-tet;当t0,1时,(t)0h(x)h(0)=1;当t-1,0时,
13、(t)0h(-x)=h(t)h(0)=1h(-x)h(x)(1+x)e-x(1-x)ex1-xf(x);又由f(x)(1+x)e-2x(1+x)2e2xexx+1成立;()当x=0时,f(x)g(x)恒成立;当x(0,1时,f(x)g(x)ae-2e-2cosx;由()知(1+x)e-2x1-xe-2e-2cosx-2cosx=-3-+4sin2=-3+4(sin2-)-3a-3.6.解:()注意到f(0)=1,所以,f(x)1f(x)f(0)当x=0时,f(x)取得最小值;由(x)=ex-a=0x=lna=0a=1a的取值集合为1;()由k=-a,所以,(x0)=ke-a=-a(x2-x1)e-
