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1、摘 要矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.关键词：矩阵；秩；等式；不等式.ABSTRACTMatrix rank is a important feature of matrix and has many valu
2、able characters . this paper sums up the relevant equality and inequality propositions of matrix rank and the usual methods to prove these propositions. Proof methods of vector group, linear equations, the linear space isomorphism, matrix block, matrix elementary transformation are given. The main c
3、ontents are as follows: using matrix theory of known to prove equality and inequality problem of matrix rank; using linear space to prove the equality and inequality of matrix rank; using dimension theory of vector group to prove equality and inequality problem of matrix rank; using matrix block met
4、hods to prove equality and inequality problem of matrix rank.Keywords: matrix；rank；equality；inequality.- i -湖南科技大学2011届本科生毕业论文目 录第一章 绪论1第二章 预备知识2第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式3第四章 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式6第五章 用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式10第六章 用矩阵分块法证明秩的等式和不等式15第七章 小结23参考文献24致 谢25湖南科技大学2011届本科生毕业论文第一章 绪论矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论
5、中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学.目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在矩阵论（科学出版社、2
6、006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的高等代数（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握.本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（
7、3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.第二章 预备知识定义1矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩；矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.定义2如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.定义3 数域上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：（1）以数域中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；（2）把矩阵的某一行（列）的倍加到另一行（列）；（3）互换矩阵中两行（列）的位置.定义4在一个矩阵中任意选定行和列，位于这些选定的行列交叉点上的个元素按原来的次序组成的级行列式称为的一个级子式.定义5设为矩阵,称线性方程组的
8、解空间为的零空间(即核空间)，记作,即.引理11 矩阵的行秩等于列秩.引理21 任意两个等价的向量组必有相同的秩.引理3 阶方阵可逆.证明:充分性:当由知可逆，且必要性:如果可逆，那么有使两边取列式，得，因而.引理41 矩阵的秩是的充要条件为矩阵中有一个级子式不为0，同时所有的级子式全为0.引理51 如果向量组可以由向量组线性表出，那么的秩不超过的秩.证明：根据已知可知向量组极大线性无关组可由的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质(见参考文献1)可得，向量组极大线性无关组的向量个数不超过的极大线性无关组的向量个数，即的秩不超过的秩.引理61 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解
9、系，并且基础解系所含解的个数为，这里表示系数矩阵的秩，也是自由未知量的个数.第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 本章主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩，秩为的充要条件，常见的秩的不等式等等.要掌握并且灵活运用这些知识才能证明下面的命题.这些命题都是一些基本的命题.命题3.1 证明：由矩阵转置的定义,的行向量组就是的列向量组，因此的行秩就是的列秩，又由引理1知，命题证毕.命题3.2 （其中）.证明：的行向量组可由的行向量组线性表出，的行向量组也可由的行向量组线性表出，因此的行向量组与的行向量组等价.由引理2它们的秩相等，再由秩的定义知与的秩相等,命题
10、证毕. 命题3.3 是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么. 证明：令,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知,但是由，又有所以.另一个等式可以同样地证明,命题证毕.命题3.42 设是一个阶方阵，则.证明：若，由引理3，知可逆，可逆，故若，由引理4，存在阶子式不为0，因此,，又因为，有，即，从而若，则由引理4，存在阶子式全为0，于是，即命题证毕.从这个命题可以得出的结论.命题3.5 设是一个矩阵，任取的行列,交叉处的个元素按原来的相对位置构成子矩阵，则 证明:设为的行所构成的子矩阵，它由所在的行确定.设.则的任意一个大于阶的子式必须至少有行出现在中.根据行列式的性质，对这个子式按出现在中的那
11、些行进行拉普拉斯展开，则可以看出，这个可以表示成的一些阶子式的线性组合，其中为某个大于的数.由引理3这些子式全为零.因此任意一个大于阶子式必须等于零.由秩的定义,.由行与列的对称性类似地可推出,两式相加即可得到，命题证毕.命题3.6 设都是阶矩阵,证明:.证明:，命题证毕.例3.1 设为阶方阵，求证必存在正整数使得.证明:由于为阶方阵，则,其中为正整数,而是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，因而必存在正整数使得.例3.2设，都是阶方阵，是阶单位矩阵，证明.证明:因为,所以.命题3.7设为阶矩阵，证明:如果,那么.证明： 因为,由命题5.3知. 又 而，所以,即，. 因此. 由， 可得.例
12、3.35 设,为阶方阵,且则.证明:因为所以.由命题3.7知 (1)由 , (2)由(1),(2)知有成立.例3.4设为阶矩阵,且,证明.证明：由，可得 . 又因为和 有相同的秩,所以 由， 可得.第四章 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用线性空间的维数公式，同构，直和分解，核与值域的一些性质和定理来证明矩阵的一些秩的等式和不等式命题.线性空间和线性变换的知识本来就比较抽象，还要和矩阵的联系起来，是有一定的难度的.这其中要构造一些映射命题4.1 设为阶方阵，如果的列向量所生成的的子空间与的零空间（即核空间）的直和为，则.证明:根据引理6，要证，只要证与同解的解显然为方程组的解.
13、下面我们用反证法证明的任一解同时也是的解.若，因,故. 另一方面，其中，,从而 ,这与矛盾,所以的任一解同时也是的解,于是它们同解,故.命题4.2 设为矩阵，为矩阵，证明Sylrester公式：.证明:设为矩阵，为矩阵,考虑，, 方程组 , 设（1）（2）（3）的解空间分别为，则，将三者联系起来，作，则它为的子空间，从而，又为的子空间，作：一方面下证 定义 易知这个映射是单满的，并且满足线性运算条件，所以它是同构映射.但上面：.因此 ，即 命题4.3 设为，为矩阵，证证明:设分别为,行空间,那么, , 由于,并由维数公式得:即得: (1)由于的行向量是的行向量的线性组合,所以有,又,所以有,因
14、此有,所以有 (2).将(2)代入(1)即得: .命题4.4 若，证明.证明：设方程组与的解空间分别为，.若，则根据引理6知 又因为满足解向量也满足,所以 由 可推出.要证，只要证与同解.设方程组与的解空间分别为，.显然,只要证.由知,即，因此，命题得证.此例是一个有价值的结论.例4.1 阶矩阵满足当且仅当.证明：先证明必要性.由知相似于形如的对角阵，其中1的个数为,又与相似，从而有相同的秩，而，其中0的个数为的秩，1的个数.所以.充分性.只要证明对任意均有即可.由说明,的解空间与的解空间满足,从而对任意存在唯一分解其中,所以综上即证.命题4.5设分别是矩阵，,证明证明：设，则 因为为可逆矩阵，秩为，故可将看做维线性空间的一组基，则在这组基下的坐标向量分别为.作，在这两个线性空间中构造映射，将中的每个向量映射到在基下的坐标向量，这个映射是一个同构映射，因此这两个线性空间同构，所以，而.所以同理可证明,这章主要是利用线性空间和线性变换的一些知识来证明矩阵的秩的等式和不等式命题，难点在于要好
