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1、 2012年数学建模课程考试班级 姓名 学号 亲，谁的团队少个人啊，可否捎带上我，本人技艺不精，但是对这个蛮感兴趣！如果你恰好少个人的话，那就算我一个吧！电话69064 在以下四个题目中任选三个做答（选做2，3，4题时，每道题均要求写成一篇小型的数学建模论文，请注意论文格式和结构）1 设某产品的供给函数与需求函数皆为线性函数： 其中为商品单价，请查阅相关资料，参考微观经济学中的蛛网模型，推导满足什么条件时，市场（价格）是稳定的。解：设Pn表示t=n时的市场价格，由供求平衡可知： 即： 经递推有： 表示初始时的市场价格若。 (选择不做)2研究人在平地上走路的数学模型。设 （米/秒）为步行速度。（
2、米）为腿长，分别为身体和腿的质量。设以上各参量已给定，求最佳步长s，使得单位时间内走路消耗的能量最少。3某百货商场每周需要售货人数如下：n 周一 18人n 周二 15人n 周三 12人n 周四 16人n 周五 19人n 周六 14人n 周日 12人规定每个员工每周连续工作五天，休息两天。问最少需要雇佣多少员工，给出排班方案。下面我们对这个问题的一些重要信息进行一下总结： 每个全职工人只能连续工作 5 天，然后就要休息 2 天 第一天（周一）：需要 18 个工人 第二天：需要 15 个工人 第三天：需要 12 个工人 第四天：需要 16 个工人 第五天：需要 19 个工人 第六天：需要 14个工
3、人 第七天（周日）：需要 12 个工人 百货商场需要对满足自己需要的雇员数目实现最小化。 建模下面让我们开始分析这个问题的决策变量。我们应该使用 7 个变量，一周中的每天都要使用一个变量，其值等于在当天工作的员工数目。尽管乍看起来这已经解决了这个问题，但是这不能实现一个员工每周只能工作 5 天的约束，因为在员工某天工作并不能要求该员工在下一天也工作。 正确的途径应该是确保在 j天开始休息的员工在接下来的连续 2天也会休息，因此正确的方法是使用 xj 表示从 星期j 这天开始休息的员工数目。使用这种方法，强制这种连续约束就简单多了。决策变量就变成了： x1：从周一开始休息的员工数目 x2：从周二
4、开始休息的员工数目 x3：从周三开始休息的员工数目 x4：从周四开始休息的员工数目 x5：从周五开始休息的员工数目 x6：从周六开始休息的员工数目 x7：从周日开始休息的员工数目 需要最小化的目标函数是所雇佣员工的数量，它可以这样给出： Z=（一周每天开始休息的员工总数即为要求的目标员工数量）那么，约束都是什么呢？一周中的每天都有一个约束，这是为了确保当天的工人数量最少。让我们以周一为例来看一下。哪些人在周一工作呢？在我脑海中浮现出来的第一个（片面）答案是 “那些在周六开始休息的人”。但是还有别人吗？（而在周日开始休息的人），周一也是要休息的，即x7不能算做在内，）那些要连续休息2天的员工中，
5、周唔开始休息的员工在周一时应该也在工作（回想一下问题的定义）。同理，我们可以推论那些周四、周三、周二休息的员工在周一也都在工作。 这个约束确保周一至少有 18 名员工在工作。 类似地： 即使用matlAB编程如下f=1 1 1 1 1 1 1;A=0 1 1 1 1 1 0; 0 0 1 1 1 1 1; 1 0 0 1 1 1 1; 1 1 0 0 1 1 1; 1 1 1 0 0 1 1; 1 1 1 1 0 0 1; 1 1 1 1 1 0 0*(-1)b=18;15;12;16;19;14;12*(-1);Ib=zeros(7,1);x,fval,exitflag=linprog(f,
6、A,b,Ib)解得：x=0.6000 5.6000 3.6000 1.6000 0.6000 6.6000 2.6000fval = 21.2000exitflag =1将数据进行优化得到如下结构x=1642173fval = 24exitflag =14某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘，以90km/h的速度向正东方向行驶。该基地立即发射导弹追击敌艇，导弹速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任何时刻都能对准敌艇。 （1）建立导弹飞行路线(x,y)与时间的对应关系（2）导弹在何时何地击中敌艇？当t =0 时,导弹位于原点O,敌艇位于(0,120)点；当时刻t ,导弹
7、位于L(x(t),y(t)，敌艇位于(90t,120)点。导弹速度可由水平分速度与垂直分速度合成：(dx/dt)2+(dy/dt)2=6302_【1】导弹方向指向敌艇,导弹轨迹的导数就是其切线，所以dy/dx=(120-y)/(90t-x)_【2】而dy/dx(dy/dt)/(dx/dt)解以上微分方程组，初始条件为：x(0)=0,y(0)=0【1】Matlab符号解法： dsolve(Dx)2+(Dy)2=6302,Dy=Dx*(120-y)/(90*t-x),x(0)=0,y(0)=0)解不出来，需要数值解法。【2】数值解法，可以用差分方程法，也可以用龙格库塔法，还可以消去t，化为二阶微分
8、方程。这里用差分方法。dx=x(k+1)-x(k);dy=y(k+1)-y(k);dt=t(k+1)-t(k)=h%Matlab程序：clear;clch=0.0001;%时间步长k=1;t(1)=0;x(1)=0;y(1)=0;%初始值while y=120x(k+1)=x(k)+630*h/sqrt(1+(120-y(k)/(90*t(k)-x(k)2);y(k+1)=y(k)+630*h/sqrt(1+(90*t(k)-x(k)/(120-y(k)2);t(k+1)=h*k;k=k+1;endplot(x,y,x(1):0.05:x(end),120)t=t(end),x=x(end),y=y(end)运行结果：t = 0.1945x = 17.5281y = 120.0140
