《数列知识点及常用解题方法归纳总结材料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列知识点及常用解题方法归纳总结材料（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列知识点与常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质定义：an1and(d为常数),ana1n1d等差中项：x,A,y成等差数列2Axy前n项和Snainai2Ld22性质：an是等差数列(1) 若mnpq,贝Sma”apaq;(2) 数列a2ni,a2n,kanb仍为等差数列;Sn,S2nSn,SanS?n仍为等差数歹u；S2m1.T2m1(3)若三个数成等差数歹0,可设为ad,a,ad；(4)若an,bn是等差数列Sn,Tn为前n项和，则业bm(5)an为等差数列Snan2bn(a,b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、
2、负分界项，即:当&0,d0,解不等式组an0可得Sn达到最大值时的n值an10如：等差数列an,Sn当310,d0,由an0可得Sn达到最小值时的MSan1018,anan1an23,S31,贝Un（由anan1an233an1又S3-33a21,a223.Saa”na?a”in211n18n27)二、等比数列的定义与性质q(q为常数，q0)，annaq等比中项：x、G、y成等比数列G2xy,或GJxy前n项和：Snnai(q1)a1Jq(q1q(要注意性质：an是等比数列1)(1)若mnpq,贝Uam-anap-aq(2)Sn，S2nSn，SnSn仍为等比数列三、求数列通项公式的常用方法1、
3、公式法2、由Sn求an；(n1时,an2时，anSnSn13、如:解:求差商法1满足一a121a12111歹边ana22nn1时,2时,练习数列an5,.a1142n,曰1侍：na满足SnSn(注意到an1Sn12,an2n1an14(n1)2n1(n2)a4，求anSn代入得:Sn14Sn又S14,Sn是等比数列，Sn4nn2时，anSnSn13-4n14、叠乘法例如：数列an中，a13,告-an打、，求an解：生-史.a1a2又a13,-an5、等差型递推公式an1.2an1233nn1.a”1na1n由anan1f(n),aa,求an,用迭加法n2时，a2a1a3a2f(2)f(3)两边
4、相加，得:anan1f(n)ana1f(2)f(3)f(n)ana0f(2)f(3)f(n)练习数列an,a1,an3n1an1n2,求a”1c(an13n1)n26、等比型递推公式ancan1dc、d为常数，c0,c1,d0可转化为等比数列，设anxcan1xancan1令(c1)xd,xan是首项为ac为公比的等比数列a-ana1练习数列an满足a19,3an1an4,求an(an1)7、倒数法例如：a11,2anan2，求an,由已知得:an212an2an1111，、，为等差数列，an1an2an111,C1n1-n1anan22.求数列前n项和的常用方法公式法:等7言、等比前n项和公
5、式把数列各项拆成两项或多项之和,1、2、裂项法:11,a公差为如：an是公差为d的等差数歹0,求解：由ak-akakakakakakakak1使之出现成对互为相反数的项Oaak1d0ak1a2a2a3anan1aan1练习求和：1(anSn3、错位相减法:若an为等差数列,bn为等比数列,求数列anbn（差比数列）前和，可由SnqSn求Sn,其中q为bn的公比。如:Sn12x3x24x3x.Snx2x23x34x412:1xSn1x1时,Sn1nxnnx12x1xx1时，Sn123倒序相加法:x24、Sna练习nxxnnnxnxn把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。1a2an1ann
6、an1a2a1aana2an1相加2SnSnaaan已知f(x),贝肝(1)f(2)f(3)f(4)f;(由f(x)原式f(1)f(2)f(3)2i1、113)2例1设an是等差数列,假设a2=3,B.802x2x11x2f(4)f;如此数列an前8项的和为C.64D.56卷第3题略解：a2+a7=a1+a8=16,.an前8项的和为64,故应选C.例2等比数列an满足aa23,a2a36,如此a7A64答案：A.B.81C.128D.243全国I卷第7题例3等差数列an中，a26,a515,假设bna2n，如此数列bn的前5项和等A.30B.45C.90D.186卷第7题略解：a5-a2=3
7、d=9,d=3,b1=a26,b5=a10=30,bn的前5项和等于90,20，如此该数列的公差d例4记等差数列的前n项和为Sn,假设S24,S4A.2B.3C.6D.7卷第4题略解：S4SS24d12,d3,应当选B.2例5在数列an中，an4n-,a1a2ananbn,nN，其中a,b为2常数，如此ab.卷第15题答案：一1.1例6在数列an中，2,an1anln(1)，如此anA2InnB.2(n1)lnnC.2nlnnD.1nInn卷第5题答案：A.例7设数列an中，a2,an1ann1,如此通项an.卷第16an1ann1中an1,an系题此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式
8、，抓住数一样是找到方法的突破口.n11,an1an2n21,略解：a12,an1ann1anan1an2an31,，a3a221,a2a111,a1211.将以上各式相加，得ann1n2n321n11-n1-11,故22应填+1.2例8假设（x+1）n的展开式中前三项的系数成等差数列，如此展开式中x4项的系数为2x（）A6B.7C.8D.9（卷第10题）答案：B.使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于根底知识和根本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题.例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的
9、一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8如此考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用.卷第1题，卷第4题，卷第4题，卷第4题，卷第14题，全国II卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习.例9an是正数组成的数列，ai=1，且点JaT,an1nN*在函数y=x2+i的图象上.(I)求数列an的通项公式；(n)假设数列bn满足b1=1,bn+1=bn+2a。,求证：bn-bn+2b2n+1.卷第20题略解：I由，1an+1-an=1,又a1=1，所以数列an是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(n-1)x1=n.(n)由
10、I知，an=n,从而bn+1-bn=2n,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+b2-b+b1=2n-1+2n-2+22+2+1=2n-1.bn?bn+2-bn1=(2n-1)(22-1)-(2n1-1)2=-2n0,.bn-bn+2Vbn1.对于第II小题，我们也可以作如下的证明：2nn+12n+1nncn+1cnn+1-i-b2=1,bn-bn+2-bn1=(bn+1-2)(bn+1+2)-bn1=2,bn+1-2,bn+1-2,2=2Lbn+1-21J=2nbn+2n-2n+1=2nbn-2n=2nb1-2=-2n0,.bn-bn+2b2n+1.例10在数列an中，a11,a
11、n12an2n.i设bn-.证明：数列bn2是等差数列；n求数列an的前n项和Sn.全国1卷第19题略解：Ibn1如=罗亲=缶j2=1=1,如此bn为等差数列，b1,bnn,ann2n1:n&伐0_12-21(n1)2n2n1n2,12Sn1*21222-(n1)2n1n2n.两式相减，得n212021.2n1n2n2n1:=(n1)2n1.对于例10第I小题，根本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数.可以用迭代法，但不口由b2-b1=1,b3-b2=1等有限个的验证归纳得到bn为等差数列的结论，犯“以偏盖全的错误.第n小题的“等比差数列，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用
12、的“错项相减的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列求和时最重要的方法.一般地，数学学习中最为重要的容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示.例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有卷第18题，卷第19题，卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列.主要考查等差数列、等比数列等根本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷如此侧重于根底知识和根本方法的考查，以考查具体
13、思维、演绎思维为主.例11等差数列an的各项均为正数，a13,前n项和为&,bn为等比数列，灯1,且烷&64,b3&960.（I）求an与bn；（n）求和:S21.卷第19题Sn略解:(I）设an的公差为d,bn的公比为q,依题意有S2b2(6d)qS30(93d)q264,960.解之，得2,或8；6,5（舍去，为什么?40.3)故an32(n1)2n1，bn8nSn3(2n1)n(n2)S21Snn(n2)i(1土）2n342(n1)(n2)“裂项相消是一些特殊数列求和时常用的方法.使用解答题形式考查数列的试题，其容还往往是一般数列的容，与前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与
14、其他容相综合,综合问题的考查力度.数列综合题对能力有较高的要求，有力的考生起到重要的作用.其方法是研究数列通项以表现出对解决定的难度，对合理区分较高能例12设数列an的前n项和为Sn2an2n,i求a，a4；证明:an12an是等比数列；m求an的通项公式.卷第21题略解：aiS1,2a1S所以a12,S2.由2anSn2n知，2an1Sn12n1an1Sn2n1Sn2na2222226,S28a3S2c3328216a4S324由题设和式知，an12anSn2“1Sn2n2“12n2n,an12an是首项为2,公比为2的等比数列.manan2an12an12an22n2a22a12n1a12“1此题重点考查
