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1、导数知识要点1. 导数(导函数的简称)的定义：设X0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量X在X0处有增量X，贝U函数值y也引起相应的增量y f (X0x) f(Xo);比值丄 竺_x) f(X0)称为函数y f(X)在点xo到Xox之间的平均变化率；如果极XX限lim丄lim竺X) f(X0)存在，则称函数y f(x)在点xo处可导，并把这个x 0 x x 0x极限叫做y f(x)在Xo处的导数，记作f(Xo)或ylxxo ，即、一” y . f (XoX) f(Xo)f (xo) = limlimx 0 xx 0x注：X是增量，我们也称为改变量”因为X可正，可负，但不为零已知函数y f
2、(x)定义域为A，y f(x)的定义域为B，则A与B关系为A B.2. 函数y f (x)在点xo处连续与点xo处可导的关系：函数y f(x)在点xo处连续是y f(x)在点xo处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y f(x)在点xo处可导，那么y f (x)点xo处连续.事实上，令x xox，则x xo相当于x o .于是 lim f(x) lim f(x0x) limf(x x0) f(x0) f(x0)x x0x 0x 0f (xoX) f(xo)xx f (xo)lim f(xox) f(xo) nmx 0xx 0叫心0)f (X0) 0 f(X0)f (X0).如果y f(x)点X
3、。处连续，那么y f(x)在点x。处可导，是不成立的例：f(x) |x|在点X0 0处连续，但在点X0 0处不可导，因为 Li1，当x x X0时，-y 1 ；当X V 0时，-y1，故lim y不存在.xxx 0 x注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数3. 导数的几何意义：函数y f (x)在点X0处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(x,f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(x0,f(x)处的切线的斜率是f(x)，切线方程为 y y f (x)(x x).4、几种常见的函数导数：c 0 ( C为常数)I(sin x) cosx(I
4、n x)1Xx x(e ) e5. 求导数的四则运算法则:(u v)u vyf1(x)f-(x)(uv)1 1 1vu v u (cv)1c v cv1u1 1vuv u- (v0)vvn n 1 z、(x ) nx ( n R)I(cosx) sin x1(log a X) -lOga eX(ax) ax ln aIIIIfn (X) yf1 (x) f2(X) . fn (x)cv ( C为常数)注：U,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它 们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设f(x) 2sinx -， g(x) cosx ，则f(x)
5、,g(x)在x 0处均不可导，但它们XX和 f (x) g(x) sinx cosx在 x 0处均可导.6. 复合函数的求导法则：fx( (X) f(u) (x)或yx yu ux复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 .7. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f(x) 0,则y f (x)为增函数；如果f(x) V0,则y f(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f(x)=0,则y f(x)为常数.注：f(x) 0是f (X)递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3在(，)上并不是都有 f(x) 0,有一个点例外即
6、 x=0 时 f( x) = 0,同样 f(x) 0是 f( x) 递减的充分非必要条件 .一般地，如果f(X)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)， 那么f (X)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.8. 极值的判别方法：(极值是在X。附近所有的点，都有f(x) V f(xo)，则f(Xo)是 函数f (X)的极大值，极小值同理)当函数f (X)在点X。处连续时， 如果在X。附近的左侧f(X) 0，右侧f (X) V 0，那么f(Xo)是极大值； 如果在X0附近的左侧f(X) V 0，右侧f(X) 0，那么f(X0)是极小值.也就是说X0是极值点的充分条件是X0点两侧导数
7、异号，而不是f(x)=0.此外， 函数不可导的点也可能是函数的极值点 . 当然，极值是一个局部概念， 极值点的 大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不 同) .注：若点X0是可导函数f (X)的极值点，则f(X) =0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点 X0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导， 则导数值为零 .例如：函数y f (x) X3， x 0使f (X) =0，但x 0不是极值点.例如：函数y f(x) |x|，在点x 0处不可导，但点x 0是函数的极小值点.9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上 对函数值进行
8、比较 .注：函数的极值点一定有意义 .导数练习、选择题1.设函数f(x)在R上可导,其导函数f (x),且函数f(x)在x 2处取得极小值,则函数y xf (x)的图象可能是2.3.设aO,bO,e是自然对数的底数A. 若 ea+2a=eb+3b,则 abB. 若 ea+2a=eb+3b,则 abD. 若 ea-2a=eb-3b,则 a0,b0.()A.若 2a 2a 2b 3b ,则 abB.若 2a 2a 2b 3b,则 abD.若 2a 2a 2b9.设函数f (x)在R上可导,其导函数为f (x),且函数y 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是A. 函数f (x)有极大值f
9、(2)和极小值f (1)B. 函数f (x)有极大值f( 2)和极小值f(1)C. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f( 2)D. 函数f(x)有极大值f( 2)和极小值f(2)10 .设函数f(x) xex,则A.x1为f (x)的极大值点B .x1为f (x)的极小值点C.x 1为f (x)的极大值点D .x 1为f (x)的极小值点11 .设a 0且a 1 ,则“函数f(x) ax在R上是减函数”,是“函数A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件12.已知函数y x33x c的图像与x轴恰有两个公共点,则cA.2 或 2B.9或 3C.1 或 1D
10、.3或 1、填空题13.曲线yx(3lnx 1)在点(1,1)处的切线方程为 14. 曲线y x3 x 3在点1,3处的切线方程为三、解答题15. 已知函数f (x) ax3 bx c在x 2处取得极值为c 16(1) 求a、b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在3,3上的最大值.16 .已知 a R,函数 f (x) 4x3 2ax a(1) 求f(x)的单调区间(2) 证明：当 OW x0.17. 已知函数 f (x)- x3 - a x2 ax a(a 0)32 求函数f (x)的单调区间；(II) 若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围；(III) 当a 1时,设函数f(x)在区间t,t 3上的最大值为 M(t),最小值为m(t),记g(t) M (t) m(t),求函数g(t)在区间3, 1上的最小值.18. 设函数 fn(x) xnbx c (n N ,b,c R)1(1)设n 2, b 1, c 1,证明：fn(x)在区间丄,1内存在唯一的零点；2 设n为偶数,|f( 1)1, |f(1)1,求b+3c的最小值和最大值；
