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1、线性代数(同济第5版)复习要点以矩阵为工具，以线性方程组问题为主线第一章行列式基本结论1 .行列式的性质(1)互换行列式的两行，行列式变号.(2)行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.(3)把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变.9彳亍列式按行(按歹lj)展开定理3行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即二知 Ari + ai2i2+ .+ 5r A(i = 1 2 . .E)3.克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即nn那末，线性方程组有唯一的解=,人D 主要计算计算行列式：1.数字行列式化为上三角形；2计
2、算有规律的阶行列式. 例31-12-513-41 .(例7)计算行列式4八；20 1-11-53-3 3 11113 112 .(例8)计算行列式D=、113 11113第二章矩阵及其运算基本概念注意：1.矩阵可乘条件,乘法规则3 .矩阵乘法不满足交换律的4 .矩阵乘法有零因子出现：但却有5 消去律不成立：皿0,推不出B= C基本结论1 .转置(i) (中(ii) (A + B) =Ar+ B(iii) (kA) = kA!(iv) (AB)1 =Bf A f2 .方阵的行列式(i) 141=1 AI (行列式性质1);(ii) IZ41=2fl Ml；(iii) I ABI=I AIIBI3
3、 . A的伴随矩阵A4* =AA=A E4 .逆矩阵5 可逆 ol A IH 0o R( A) - no 4Eo A = E,E2 - Ex Q是初等矩阵推论若AB=E (或为二为，则B =力方阵的逆阵满足下述运算规律：(1) 若A可逆，贝Ijf亦可逆，且(AW=A.(ii)若A可逆，数2工0,则Z4可逆，且(Z4)二A A(iii)若礼B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且(iv)若A可逆，则A，亦可逆，且(A? )，=(A，)r基本计算用上面基本结论进行简单计算主要计算求A”：公式法A”=A*Ml基本证明用上面基本结论进行简单证明，1 23、1 .（例II）求矩阵的逆矩阵A = 221第三
4、章矩阵的初等变换与线性方程组基本结论线性方程组解的判定：1） 元非齐次线性方程组止A 有解= R（B）.有解时，(记 R(A) = R(B) = r )（1）/二 时，4r有唯一解2） ） TS时，心力有无穷多解2.齐次线性方程组AX=O （AX = 0是AX=b的特殊情形）由于AX = O永远满足R（A） = A（切，故止0总有解（至少有零解）从而（1）厂二时，AT =0有唯一零解（2） TC时，AX=O有（无穷多）非零解基本计算1 .会求矩阵的秩2 .会用矩阵的秩判别线性方程组有没有解，有解时，有多少解3 .会用初等变换求矩阵的逆彳亍彳亍初等变换（AIE）4（EIA）；（包括求矩阵方程AX
5、 =民用（AI3）EIA-8）；主要计算1, 设非齐次线性方程组AX=试问此线性方程组有解吗？若有解，有多少解?2, 会用初等变换求矩阵的逆例p2050)1.（例15）谱八3-236 -12 015-3J6 -4-14,求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式4 23、2 .用初等变换求矩阵A = 2 2 1的逆矩阵343 J3 .（例13）设有线性方程组(1 + 2)xj +X2 + xs = 0, + (1 +4)X2+43=3,+ X2 + (1 + 2)X3 = 2,问2取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.第四章向it组的线性相关
6、性基本概念1 .向量组的线性相关性向量的线性组合、线性表示、向量组的线性相关与线性无关向量组的等价2 .向组的秩极大线性无关组、向量组的秩3 .向量空间向量空间的基的定义、基的求法、向量空间的维数、维数的求法向量组所生成的向空间为ZaS，益+ g”比虫，匕日勺4 .线性方程组解的结构齐次线性方程组基础解系、非齐次线性方程组解的结构基本结论L线性表出定理1向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A,的秩等于矩阵B = aaiy-%叫标的秩.定理2向量组B:件，角，Q能由向量组ATS线性表示的充分必要条件是矩阵4 = (0,色,)的秩等于矩阵(人8)二(国,，禹，用)的秩.即加1)=R(A,
7、B).推论向量组与向量组Aqs,皿等价的充分必要条件是R(A) = R(B) = R(A, B)定理3设向量组B:002,., Q能由向量组Aqs,线性表示，则2.向组的线性相关性定理4向量组匕，勺，乙线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵人二(冬，勺，秩小于向量个数加;向量组线性无关的充分必要条件是笈“)二m定理5 (1)若向量组A :tzm,线性相关，则向量组B电 物,“/也线性相关.(2)加个“维向量组成的向量组，当维数“小于向量个数加时一定线性相关.(3)设向量组Am心,一招出线性无关，而向量组8/、m四线性相关，则向量。必 能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的.3 .向量组的秩定理
8、6矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.推论(最大无关组的等价定义)设向量组3是向量组4的部分组，若向量组3线性无关，且向量 组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组.4 .解的结构(1) 齐次线性方程组性质1若勺，冬为心的解，则勺+乡也是心=0的解.性质2若舟为心=0的解，k为实数，则猪也是心=0的解.Ax = 0的基础解系：黑，友,通解是后口kJ定理7设%x 矩阵A的秩A =T,则“元齐次线性方程组川团的解集S的秩用二-八(2) 非齐次线性方程组性质3设弘及“2都是Ax=/?的解，则2为导出组Ax =0的解.性质4设是方程Ax”的解、2是方程心=0的解
9、，贝吒+ 仍是方程处”的解.二。的通解是:才=A易+ -77*5 .向量空间向量组所生成的向量空间为UaAa2, - -, am) = ka +k2a2+- +kAk29 - Abe/?基本计算1. 一般地，要判别一个向量0=*是否可由向量组/ / / 、Cla2as%。22。2sG =.9 -=an 7 an2 7kanx J线性表出？设P =他 0 + k2a2 + + kxas按分量形式写出来就是d也+d丛2aixk+a22k2 + +2/$ =仇，(*)1心岗+4办2+ +小二仇定理。可由向量组乞心，%线性表出0 (*)有解2. 一般地，要判别一个向量组/ /21a r ,，如5 JH
10、x/s J是否线性相关?设+ X2H2 + + Xs ay = 0按分量写出来就是4岗丛2=0（*）5匕+5人+。2人=0V- ia-伙+协2k2+心人=0定理 向量组4,色，8线性相关。齐次线性方程组（*）有非零解3. A （002,.,乞”）基和维数的求法4. 线性方程组解的结构（1） 齐次线性方程组基础解系勺,，乩（2） 非齐次线性方程组解的结构的求法万斗古+仁_/,+ 77*主要计算1 设矩阵A,求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关 组线性表示.2 设非齐次线性方程组二/ 试问（1） 此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（第三章容）（2） 若有无穷
11、多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.（第四章容）基本证明向量的线性相关与线性无关、向量的组的等价、极大线性无关组、向量组的秩的证明向量空间的基、维数的证明基础解系、解的结构的证明主要证明1 .线性无关的证明2 .= 的歹IJ是AX = 0的解例1.（例11）设矩阵k2-1-11211-2144-62N4,36-979求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表X - X2 -=02.(例16)设非齐次线性方程组吗-勺+勺.3 口=1，试问X -X2 - 2Xj + 3X4 - -I1 1)此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？2 2)若
12、有无穷多解，求其通解(要求通过它的导出组的基础解系给出的通解).3 .(例6)已知向量组aAa2. a3线性无关，=a* +/9 J32 =如/3 =如+分量组Z心线性 试证向 无关.(第五章1定理1、2定理2)4 .(例 13)设 43 =0,证明：A 64) + R (B) 0;当且仅当x=o时 2.齐次性:11Axl1=12111X11;3.三角不等式:llx+rllllxll+llyll定理1若维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关.二 .特征值、特征向量定理2设人，兄2,几是方阵A的川个特征值，L“2,PJ依次是与之对应的特征向量如果入，兄2,，九各不相同，则“1, 2用线性无关
13、.三 .相似矩阵，对称阵的对角化四 .二次型及其标准形，正定二次型，正定矩阵基本计算1 .向量的长度:11X11 = JX,X=J#+xj+_ + x；2 .向量的夹角的求法：0= arccos区囚3 .正交化方法：设线性无关4 .单位化:p -102= S卫2,如003 = 5 g, 0J 尸 0,021厂- Azl 02,021 特征值的求法、特征向量的求法6 .对称阵的对角化方法7 .求正交变换化二次型为标准形例v r-r 4、L（例 设a】二2 、 30= -1,试用施密特正交化过程把这组向量规正交化。2.（例7）求矩阵的特征值和特征向量.3.（例12）设r o -1 r-1 0 111 1 J求一个正交阵P，
