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1、第九章 静电场 (Electrostatic Field)二、计算题9.7 电荷为q和2q的两个点电荷分别置于x1 m和x1 m处一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？解：设试验电荷置于x处所受合力为零，根据电力叠加原理可得即：。因点处于q、2q两点电荷之间，该处场强不可能为零故舍去得 m9.8 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷Q，如题图9.4所示试求圆心O处的电场强度解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在q 处取微小电荷dq = ldl = 2Qdq / p它在O处产生场强按q 角变化，将dE分解成二个分量：对各分量分别积分
2、，积分时考虑到一半是负电荷0 所以 9.9如图9.5所示，一电荷线密度为的无限长带电直导线垂直纸面通过A点；附近有一电量为的均匀带电球体，其球心位于O点。是边长为的等边三角形。已知处场强方向垂直于，求:和间的关系。解：如图建立坐标系。根据题意可知9.10 如题图9.6所示，一电荷面密度为s的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的试求该圆半径的大小解：电荷面密度为s的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 ：E=s / (2e0)。以图中O点为圆心，取半径为rrdr的环形面积，其电量为dq = s2prdr。它在距离平面为a的一点
3、处产生的场强 则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为 由题意,令E=s / (4e0)，得到R9.11 如题图9.7所示,一均匀带电直导线长为，电荷线密度为。过导线中点O作一半径为（）的球面，P为带电直导线的延长线与球面的交点。求：（1）、通过该球面的电场强度通量。（2）、P处电场强度的大小和方向。解：（1）利用静电场的高斯定理即可得：。（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。在带电导线上坐标为处取长度为的带电元，其所带电荷量为，在p点产生的电场强度为：则p点的电场强度为 9.12 题图9.8中，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：Exbx，Ey0, Ez0。高斯面边长a
4、0.1 m，常量b1000 N/(Cm)试求该闭合面中包含的净电荷(真空介电常数8.8510-12 C2N-1m-2 ) 解：设闭合面内包含净电荷为Q因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零由高斯定理得：则9.13 体图9.9所示，有一带电球壳，内、外半径分别为、，电荷体密度为，在球心处有一点电荷。证明：当时，球壳区域内电场强度的大小与半径无关。证：用高斯定理求球壳内场强： ,而r Qa b r图9.9要使的大小与r无关，则应有 ：， 即 9.14 如题图9.10所示，一厚为b的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为 (0xb )，式中k为一正的常量求： (1)
5、平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？ 解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面设场强大小为E作一柱形高斯面垂直于平面其底面大小为S，如图所示 按高斯定理，即：得到：， (板外两侧)(2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S设该处场强为，如图所示按高斯定理有：得到： (0xb)(3) =0，必须是， 可得9.15 一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为,两球心间距离,如题图9.11所示。 求：(1) 在球形空腔内,球
6、心处的电场强度；(2) 在球体内P点处的电场强度。设、O、P三点在同一直径上，且。解：挖去电荷体密度为r 的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场，而另在挖去处放上电荷体密度为r的同样大小的球体，求出电场，并令任意点的场强为此二者的矢量叠加，即：在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，则可求出O与P处场强的大小。得： 方向分别如图所示。在图(b)中，以O点为小球体的球心，可知在O点E2=0. 又以O 为心，2d为半径作球面为高斯面S 可求得P点场强E2P (1) 求O点的场强 . 由图(a)、(b)可得 EO = E1O =， 方向如图(c)所示.(2)求P点的场强.
7、由图(a)、(b)可得 方向如(d)图所示.E1P rPE2PEP图(d) O OPE1O r图(a) O r O dEO=E1 O图(c) OPE2P-r O rE2O=0图(b)E1P9.16 如题图9.12所示，两个点电荷q和3q，相距为d. 试求： (1) 在它们的连线上电场强度的点与电荷为q的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U=0的点与电荷为q的点电荷相距多远？解：设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线 (1) 设的点的坐标为，则 解出：另有一解不符合题意，舍去 (2) 设坐标x处U0，则 得：9.17 一均匀静电场，电场强度，空间有两点和
8、，（以米计）。求两点之间的电势差。解：空间某点的位矢表示为，则9.18 题图9.13所示，为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为，为一常量取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势解：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq=l0 (xa)dx 。它在O点产生的电势O点总电势：9.19 题图9.14所示，电荷q均匀分布在长为2l的细杆上。求（1）、在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)。（2）、杆的中垂线上与杆中心距离为a的P点的电势。(设无穷远处为电势零点)解：（1）设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示细杆的电荷线密度lq / (
9、2l)，在x处取电荷元dq = ldxqdx / (2l)，它在P点产生的电势为 整个杆上电荷在P点产生的电势：（2）设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示.杆的电荷线密度l=q / (2l)在x处取电荷元dqdq = ldx = qdx / (2l) 它在P点产生的电势整个杆上电荷产生的电势：9.20 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R10.03 m和R20.10 m已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷解：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为 (R1rR2） 两球的电势差： 2.1410-9 C9.21 电荷以相同的面密度s 分布在半径为
10、r110 cm和r220 cm的两个同心球面上设无限远处电势为零，球心处的电势为U0300 V 8.8510-12 C2 /(Nm2) (1) 求电荷面密度 (2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即 8.8510-9 C / m2(2) 设外球面上放电后电荷面密度为，则应有： = 0即 ：外球面上应变成带负电，共应放掉电荷：6.6710-9 C9.22如题图9.15所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端离球心距离为r0设球和线上的电荷分
11、布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零) 解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为，该线元在带电球面的电场中所受电场力为：整个细线所受电场力为： ，方向沿x正方向电荷元在球面电荷电场中具有电势能：整个线电荷在电场中具有电势能： 9.23一真空二极管，其主要构件是一个半径R1510-4 m的圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R24.510-3 m的同轴圆筒形阳极B，如题图9.16所示阳极电势比阴极高300 V，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力(基本电荷e1.610-19 C) 解：与阴极同轴作半径为r
12、 (R1rR2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为l按高斯定理有：即两极间的电场强度可表示为：， (R1rR2)，的方向沿半径指向轴线两极之间电势差所以，两极间的电场强度为：在阴极表面处电子受电场力的大小为 4.3710-14 N方向沿半径指向阳极 9.24 题图9.17为一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小解：设内球壳带电量为，则根据高斯定理可得出两球壳之间间半径为的同心球面上各点电场强度的大小为内外导体间的电势差：当内外导体间电势差U为已知时，内球壳上所带电荷即可求出
13、为：内球表面附近的电场强度大小为：欲求内球表面的最小场强，令，则得到： 并有 可知这时有最小电场强度：9.25 题图9.18所示，一半径为R的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为： (rR)，式中A为常量求： (1) 圆柱体内、外各点场强大小分布； (2) 选与圆柱轴线的距离为l (lR) 处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布解：(1) 取半径为r、高为h的高斯圆柱面(如图所示)面上各点场强大小为E并垂直于柱面则穿过该柱面的电场强度通量为：为求高斯面内的电荷，时，取一半径为r，厚d r、高h的圆筒，其电荷为：则包围在高斯面内的总电荷为 由高斯定理得：解出： (rR) 时，包围在高斯面内总电荷为： 由高斯定理：解出： (r R) (2) 计算电势分布 当时： 当rR时 ：9.26已知某静电场的电势函数 (SI)求点(4，3，0)处的电场强度各分量值解：由场强与电势梯度的关系式得=-1000 V/m；9.27 如题图9.19所示，在电矩为的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R电偶极子正负电荷之间距离）移到B点，求此过程中电场力所作的功。解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势 式中为从电偶极子中心
