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1、学 士 学 位 论 文 题 目 有关级数的敛散性学 生 指导教师 年 级 2008级专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学科学学院 2011年5月目 录摘 要1关键词1引言11 基本概念和相关理论11.1 有关级数的定义12 级数敛散性的判定方法32.1 级数的相关定理及证明33 级数敛散性的应用73.1 级数敛散性的相关结论73.2 级数敛散性判定的应用10结束语14参考文献14外文摘要14有关级数的敛散性（哈尔滨师范大学数学科学学院） 摘 要: 级数是高等数学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分，判别正项级数的敛散性方法很多，本文主要讨论了正项级数判别法的一些特性，
2、及判别正项级数敛散性的一般步骤关 键 词 数项级数 收敛 发散 判别法引言数项级数敛散性判定研究是一个重要而有趣的课题，关于数项级数的敛散性判定尽管有不少经典性判别法，然而对数项级数判断收敛的方法的研究至今还在继续与深入，并且获得了一些新的知识和发现.本文打算对数项级数各项重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳，在已有判断收敛的一般程序基础上，进行进一步探讨，使解题更简便、更直接，从而找到判断收敛更完美的一般程序及最优方法选择.1基本概念和相关理论1.1有关级数的定义 定义1.1.1 给定一个数列,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 （1）称为数项级数或无穷项级数（也简称为级数），其中称
3、为数项级数（1）的通项.数项级数(1)也常写作:或简称写作.数项级数(1)的前n项之和,记为 , （2）称为数项级数（1）的第n个部分和，也简称为部分和. 定义1.1.2 若数项级数(1)的部分和数列收敛于S(即),则称数项级数(1)收敛,称S为数项级数(1)的和，记作 或.若是发散数列,则称数项级数(1)发散. 定义1.1.3 若正项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数.各项都是由正项组成的级数称为正项级数 定义1.1.4若级数的各项符号正负相间，即， 则上述级数为交错级数2 级数敛散性的判定方法 2.1 级数的相关定理及证明定理2.1.1 由于级数(1)的收敛或发散（简称敛散性），是由它
4、的部分和数列来确定的，因而可把级数（1）作为数列的另一种表现形式.反之任给一个数列，如果把它看作某一数项级数的部分和数列，则这个数项级数就是 （3）这是数列与级数（3）具有相同的敛散性，且当收敛时，其极限值就是级数（3）的和.定理2.1.2 (级数收敛的柯西准则) 级数（1）收敛的充要条件：任给正数，总存在正整数N，使得当以及对任意正整数p，都有 (5)即有级数（1）发散的充要条件：存在某正整数，对任何正整数N，总存在整数和，有定理2.1.3 若级数（1）收敛，则 （6）定理2.1.4 若级数和都收敛，则对任意常数，级数亦收敛，且定理2.1.5 去掉、增加或改变级数的有限个项不改变级数的敛散性
5、.定理2.1.6 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和. 注意：从级数加括号的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛.例如收敛，但级数却是发散的.定理2.1.7 正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正整数N，对一切正整数n都有.定理2.1.8（比较原则） 设和是两个正项级数，如果存在某正整数N，对一切都有则（i）若级数收敛，则级数也收敛；（ii）若级数发散，则级数也发散.推论 设 (7) (8)是两个正项级数，若则 （i） 当时，级数（7）、（8）同时收敛或同时发散；（ii） 当且级数(8)收敛时，级数(7)也收敛；（iii）当且级数（8）发散时，级数（7
6、）也发散.定理2.1.9（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设为正项级数，且存在某个正整数及常数（）. （i） 若对一切，成立不等式则级数收敛.（ii）若对一切，成立不等式则级数发散.推论 （比式判别法的极限形式）若为正项级数，且 （9）则 （i） 当时，级数收敛；（ii）当或时，级数发散. 注 若（9）中，这是用比式判别法对级数的敛散性不能做出判断因而它可能是收敛的，也可能是发散的.例如级数和，它们的比式极限都是但是收敛的，而却是发散的.若某极限（9）式的极限不存在，则可用上、下极限来判别.推论 设为正项级数.（i）若，则级数收敛；（ii）若，则级数发散.定理2.1.10 （柯西判别法，或称
7、根式判别法） 设为正项级数，且存在某正数及正常数，（i）若对一切，成立不等式 ， （10）则级数收敛；（ii）若对一切，成立不等式 （11） 则级数发散. 定理2.1.11（根式判别法的极限形式） 设为正项级数，且 （12） 则（i）当时，级数收敛； （ii）当时，级数发散.注 若（12）式中，则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判别.例如，对和，都有但是收敛的，而却是发散的.若（12）式的极限不存在，则可根据根式的上极限来判断.定理2.1.12 设为正项级数，且则当（i） 时级数收敛；（ii）时级数发散. 定理2.1.13（莱布尼茨判别法）若交错级数 （13） 满足下述两个条件： （i） 数
8、列单调递减;（ii）则级数（13）收敛. 定理2.1.14 若级数（13）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数的余项估计式为绝对收敛级数及其性质若级数 （7） 各项绝对值所组成的级数 （15） 收敛，则称级数（7）为绝对收敛.定理2.1.15 绝对收敛的级数一定收敛.定理2.1.16 设级数 （7）绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得到的级数 （8）也绝对收敛亦有相同的和数.注 由条件收敛级数重排列后所得到的新级数，即使收敛，也不一定收敛于原来的和数.而且条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的数.例如级数是条件收敛的，设其和为A，即乘以常数后，有将上述两个级数相加，就得
9、到定理2.1.17 （柯西定理） 若级数 (7) (8)都绝对收敛，则对所有乘积按任意顺序排列所得的级数也绝对收敛，且其和等于.引理 （分部求和公式，也称阿贝尔变换） 设为两组实数，若令,则有如下分部求和公式成立：（16）推论（阿贝尔引理） 若（i） 是单调数组;（ii）对任意正整数有（这里），则记时，有 （17）定理2.1.18（阿贝尔判别法） 若为单调有界数列，且级数收敛，则级数 （18）收敛.定理2.1.19（狄利克雷判别法） 若数列单调递减，且，又级数的部分和数列有界，则级数（18）收敛.积分判别法定理2.1.20(积分判别法) 设为上非负减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发
10、散. 3 有关级数的敛散性的应用 3.1级数敛散性的相关结论 3.1.1判断正项级数一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若为0则收敛，若不为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散. 3.1.2若级数的一般项可以进行适当放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法. 3.1.3当通项具有一定特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、跟式判别法。 3.1.4当上述方法都无法使用时，通常可以选用比式判别法当比式判别法也无法使用时，使用比较判别法，若两者都无法使用在使用充要条件进行判定断。由此，我们可以知道正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判断时，就出现一
11、种新的判别法进行判断，因此正项级数的判别法可以看做是由无穷多种。3.2 级数敛散性判定的应用例3.2.1 讨论数项级数 （4）的敛散性. 解 级数（4）的第n个部分和 = 由于， 因此级数（4）收敛，且例3.2.2讨论调和级数的敛散性.解 这里调和函数显然满足推论的结论，即但令时，有因此，取，对任给的正整数N，只要和就有（6）式成立.所以调和级数是发散的.例3.2.3应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛.证明 由于 ，因此，对任给正数，取，使当及对任意正整数，由上式就有 根据级数收敛的柯西准则推得级数是收敛的.例3.2.4考察的收敛性.解 由于当时，有因为正项级数收敛，故由定理6和定理3，级数也收敛.例3.2.5级数是收敛的，因为以及等比级数收敛，所以根据推论，级数也收敛.例3.2.6级数是发散的.因为，根据推论以及调和函数发散，所以级数也发散.例3.2.7级数由于根据比式判别法的极限形式知级数收敛.例3.2.8讨论级数的敛散性.解 因为当时级数收敛；当时级数发散；而当时所考察的极限是，它显然也是发散的.例3.2.9研究级数的敛散性.解 由于 所以级数是收敛的.例3.2.10级数 的各项绝对值所组成的级数是.应用比式判别法，对于任何实数都有，因此所考查的级数对任何实数都绝对收敛.例3.2.11若数列具有性质：，则级数和对任何都收敛.解 因为 当时，故得到 所以级数的部分和数
