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1、双曲线知识点一双曲线的定义及双曲线的标准方程：1双曲线定义（1）第一定义:到两个定点F与F2的距离之差的绝对值等于定长（VIF/J）的点的轨迹（|PF-IPFqII = 2a IFF2I时，动点轨迹不存在（2）.第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线的距离之比是常数 e（e1）时，这个动点的轨迹是双曲I这定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：兰-兰=1 和兰-乂二 1 （a0，b0）. b2 = c2 -a2, | F F |=2c.a2 b2a 2 b21 23双曲线的标准方程判别方法是：如果x 2项的系数是正数，则焦点在X轴上；如果y 2项 的系数是正数
2、，则焦点在y轴上对于双曲线，a不一定大于b,因此不能像椭圆那样， 通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：（1）正确判断焦点的位置； 设出标准方程 后，运用待定系数法求解.二双曲线的内外部:点P (x , y )在双曲线乂 -兰=1(a 0, b 0)的内部o 話-雪 1 0 0a2 b2a 2 b2点P（x , y ）在双曲线巴-兰=1（a 0,b 0）的外部o胡-髯0，b0）a 2 b 2范围：|x|2a, yR；对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称; 顶点：轴端点兔（a, 0），A2 （a， 0）;渐近线： 若双曲线方程为乂 -竺=1
3、 n渐近线方程a 2 b2兰-竺=0 na 2b2by 二_ xa 若渐近线方程为y = bx n -z = 0 n双曲线可设为乂-竺 a a ba 2 b2 若双曲线与兰-竺=1有公共渐近线，可设为兰-兰二九（九0，焦点在x轴上,a 2 b2a 2 b2九 0)与竺-邑二1(a, b 0)的区别和联系a 2b2a 2b2标准方程竺2! = 1(a, b 0)a 2 b 2竺-竺=1(a, b 0)a 2b 2性质隹占八、八、(c,0),(-c,0)，(0, c), (0,-c)焦距2c范围I x I a, y g RI y I a, x g R顶点(a,0), (-a,0)(0,-a), (
4、0, a)对称性关于x轴、y轴和原点对称五弦长公式：若直线y = kx + b与圆锥曲线相交于两点A、B,且x ,x分别为A、B的 12横坐标，则 |AB = 4k2 +1 x - x I = Jk2 +1、Kx + x )2 - 4x x1 + k2 ，若 y , y 分别为11121121 2|a|12A、B 的纵坐标，则 |AB| = -1 +1 |y-yj = +1：6 + 歹2)2 - 4孕2。2b2通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长I AB 1= 2b-。 a若弦AB所在直线方程设为x = ky + b，则|ab | f ：1 + k2 |y -
5、y | o特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解, 例：直线y = x +1与双曲线兰-兰=1相交于A,B两点，则AB =23六、焦半径公式：双曲线乂-21 = 1 (a0，b0)上有一动点M(x ,y )a2 b200当 M(x , y )在左支上时 I MF I=-ex - a, I MF I=-ex + a0 0 1 0 2 0当 M(x , y )在右支上时 I MF I= ex + a, I MF I= ex - a0 0 1 0 2 0注：焦半径公式是关于x的一次函数，具有单调性，当M(x ,y )在左支端点时0 0 0I MF I= c -a
6、，I MF I= c + a，当 M(x , y )在左支端点时 I MF I= c + a，I MF I= c -a1 2 0 0 1 2七、等轴双曲线：竺-二=1 (a0, b0)当a = b时称双曲线为等轴双曲线；则：1. a = b；2.离心率e =亡2 ； 3.两渐近线互相垂直，分别为y= 土 x ； 4.等轴双曲线的方程x2 - y2二九,九鼻0 ；5.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。八、共轭双曲线：1.定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫 做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线2. 方程；3.性质：(1)共轭双曲线有共同的
7、渐近线；(2)共轭双曲线的四个 焦点共圆.(3)它们的离心率的倒数的平方和等于1。双曲线知识点扩充1、点P处的切线PT平分APFF在点P处的内角.122、PT平分APFF在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直12径的圆，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P1在左支)5、若P (x , y )在双曲线兰-兰=1 (a0,b0)上，则过P的双曲线的切线方程是0 0 0 a2 b2 0x x y y0 = 1 .a 2 b26、若P (x , y )在双曲线乂-兰=1
8、(a0,b0)夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切0 0 0 a2 b2点为P、P ,则切点弦PP的直线方程是T-寻二1.1 2 1 2a 2 b27、双曲线乂-21 = 1 (a0,bo)的左右焦点分别为F, F，点P为双曲线上任意一a 2 b21 2点ZFPF =y，则双曲线的焦点角形的面积为S二b2cot-.1 2AF!PF228、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF INF.9、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A、A为双曲线实轴上的顶点,12AP和AQ交于点M, AP和A
9、Q交于点N,则MF丄NF.1 2 2 110、AB是双曲线乂-兰=1 (a0,b0)的不平行于对称轴的弦，M(x ,y )为AB的a 2 b20 0中点，则K - KOM ABb2x0a2y0，即 KAB11、 若P (x , y )在双曲线乂-兰=10 0 0a2 b2b2x二。a2y0(a0,b0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是x x y y 0x20a2y2-.b2x212、-=l(a0;b0)的焦点为F与F，且p为曲线上任意一点Z F PF = 20。a2b 2121 2则APFF的面积S = b2cot0，焦点三角形面积公式：S= b2 cot0,(0=ZFPF )1 2afip
10、f221 2考点 1 双曲线的定义及标准方程 题型 1：运用双曲线的定义1设P为双曲线x2 - 21二1上的一点F、是该双曲线的两个焦点，若IPF： IPF2I=3： 2,12 1 2 1 2 则厶pf1f2的面积为()A. 6訂B. 12C. 12x3D. 242如图2所示，F为双曲线C :兰-竺二1的左916焦点，双曲线C上的点P与P C二1,2,3)关于y轴对称，i7 -i则 PF + PF + |PF| |PF|-|PF|-|PF| 的值是()123456A. 9 B. 16 C. 18D. 27题型 2 求双曲线的标准方程3已知双曲线C与双曲线F - 2! =1有公共焦点，且过点(3
11、扛，2).求双曲线C的方 164程.4已知双曲线的渐近线方程是y =+兰，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程 y 2为；5. 以抛物线y2 = &3x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是x、.；3y = 0的双曲线方程为6.已知点M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相 切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为y 2y 2A. X2 -= 1 (x 1)88C. x2 + 竺=1 (x 0)D. x2 -兰=1(x 1)8 10考点 2 双曲线的几何性质题型 1 与渐近线有关的问题1 焦点为(O 6)，且与双曲线竺y 2 = 1有相同的渐近线
12、的双曲线方程是()2Ax 212By 2 x 21224Cy 2x 22412DX 2V2=124122以椭圆需+甘二1的右焦点为圆心，且与双曲线訐話二1的渐近线相切的圆的方程是(A) x2 + y2 -10x + 9 = 0(B) x2 + y2-10x-9 = 0(C) x2 + y2 +10x + 9 = 0(D) x2 + y2 +10x-9 = 0综合练习1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0 )，右顶点为(I) 求双曲线C的方程_uur uur(II) 若直线l: y = kx +迈与双曲线恒有两个不同的交点A和B且OA OB 2 (其中O为 原点)，求k的取值范围2. 已
13、知直线y = ax +1与双曲线3x2 - y2 = 1交于A、B点。(1)求a的取值范围；(2)若以A B为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(3) 是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y = 2x对称？若存在， 请求出a的值；若不存在，说明理由。3. 椭圆C: +洱=1 (ab0)上的点A(l, 3 )到两焦点的距离之和为4,a 2 b22求椭圆的方程;(2) 设K是(1)中椭圆上的动点，匚是左焦点，求线段FK的中点的轨迹方程；(3) 已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一 点，当直线PM、PN的斜率都存在并记为k、k时，那么k k是与点P位置无PM PNPM PN关的定值。试对双曲线沪-护=1写出具有类似特性的性质，并加以证明。a 2 b 2uuivmv4. 已知两定点F(-/2,0), F G/2,0),满
