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1、第2课时圆与圆的位置关系学习目标重点难点1能够说出圆与圆的位置关系的种类2依据圆和圆的方程，学会用代数法判断两圆的位置关系；能通过比较两圆心之间的距离和两半径的和或差的大小用几何法判断圆和圆的位置关系3能够根据两圆的位置关系解决两圆相交、相切问题.重点：根据两圆的方程判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系解决两圆相交、相切问题难点：相交两圆的公共弦所在直线方程及弦长的求法疑点：遇到两圆相切时是否分内切与外切进行讨论.1圆与圆的位置关系有几种？圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含2怎样判断圆与圆的位置关系？(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两
2、圆的位置关系的判断方法如下：位置关系相离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|0d|r1r2|公切线条数43210(2)代数法：设两圆方程分别为C1：x2y2D1xE1yF10(DE4F10)，C2：x2y2D2xE2yF20(DE4F20)，联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切相离或内含预习交流1两圆有且只有一个公共点，两圆位置关系如何？若两圆没有公共点呢？提示：两圆有且只有一个公共点，则两圆的位置关系为相切(外切或内切)；若两圆没有公共点，
3、则两圆的位置关系为相离或内含预习交流2(1)圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切(2)圆(xa)2(yb)2c2和圆(xb)2(ya)2c2相切，则()A(ab)2c2 B(ab)22c2C(ab)2c2 D(ab)22c2提示：(1)B(2)B1判断两圆的位置关系已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x0.(1)当m1时，圆C1与圆C2为什么关系？(2)当m4时，圆C1与圆C2为什么关系？(3)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？思路分析：(1)，(2)参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与
4、r1r2，|r1r2|的大小关系(3)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则圆心距d|r1r2|.解：(1)m1，两圆的方程分别可化为：C1：(x1)2(y2)29.C2：(x1)2y21.两圆的圆心距d2，又r1r2314，|r1r2|31|2，|r1r2|dr1r2.圆C1与圆C2相交(2)当m4时，两圆的方程分别可化为：C1：(x4)2(y2)29，C2：(x1)2y21.两圆的圆心距d，又r1r231，dr1r2.圆C1与圆C2相离(3)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则31，即(m1)20，显然不等式无解故不存在m使得圆C1与圆C2内含实数k为何值时，圆C1：x2y24x6y120与
5、圆C2：x2y22x14yk0相交、相切、相离？解：将两圆的一般方程化为标准方程：C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.所以圆C1的圆心为C1(2,3)，半径r11；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2(k50)从而|C1C2|5，当15，即k34时，两圆外切当|1|5，即6，k14时，两圆内切当14k34时，则46，即|r2r1|C1C2|r1r2时，两圆相交当34k50时，则4，即|1|C1C2|时，两圆相离判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，dr1r2时，两圆外切，d|r1r2|时，两圆内切，
6、dr1r2时，两圆相离，0d|r1r2|时，两圆内含，|r1r2|dr1r2时，两圆相交2与两圆相交有关的问题已知圆C1：x2y22x10y240和圆C2：x2y22x2y80.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度思路分析： 解：(1)将两圆方程化为标准方程，圆C1：(x1)2(y5)250，圆C2：(x1)2(y1)210.则圆C1的圆心为C1(1，5)，半径r15；圆C2的圆心为C2(1，1)，半径r2.又|C1C2|2，r1r25，r1r25，|r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x2y40.(3)方
7、法一：两方程联立，得方程组两式相减得x2y4，把代入得y22y0，y10，y22.或交点坐标为(4,0)和(0,2)两圆的公共弦长为2.方法二：两方程联立，得方程组两式相减得x2y40，即为两圆相交弦所在直线的方程由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心为C1(1，5)，半径r15.圆心C1到直线x2y40的距离d3，设公共弦长为2l，由勾股定理r2d2l2，得5045l2，解得l，公共弦长2l2.1圆x2y23xy0和圆3x23y22xy0相交弦所在的直线方程是_解析：联立方程组，由3即得7x4y0为所求答案：7x4y02若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公
8、共弦长为2，则a_.解析：圆x2y24的圆心为(0,0)，半径为2.由两圆方程作差得公共弦所在直线方程为y.圆心(0,0)到公共弦的距离d1，得a1.答案：1求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：注意：(1)当两圆相切时，公共弦所在直线即为两圆的公切线(2)当两圆外离时，方程作差也能得一条直线方程，但这条直线方程不是两圆的公共弦所在直线方程3与两圆相切有关的问题求与圆x2y22x0外切且与直线xy0相切于点M(3，)的圆的方程思路分析：利用待定系数法，设出圆的标准方程，根据圆与直线、圆与圆相切的条件列出方程组求解，其中圆与圆外切转化为圆心距问题，圆与直线相切转
9、化为点线距问题解：圆方程x2y22x0化为(x1)2y21，设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2.由题意得解之，得或所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.已知圆C1：x2y24x4y50和圆C2：x2y28x4y70.(1)证明两圆相切；(2)求过点(2,3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程解：(1)证明：由题目可知圆C1圆心坐标为(2,2)，半径r1；圆C2圆心坐标为(4，2)，半径r2，|C1C2|2，r1r22，则|C1C2|r1r2，所以两圆外切(2)由题目可求得两圆相切于点(1,0)，由题意知，所求圆心应在过C1(2,2)，C2(4，2)的直线2x3y20上设所求圆
10、的方程为x2y2DxEyF0，则有解得所求圆的方程为3x23y224x20y270.处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题1圆A：x2y22x0和圆B：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切解析：圆A的圆心为A(1,0)，半径r11，圆B的圆心为B(0,2)，半径r22，所以|AB|.又因为|r2r1|1r1r23，所以两圆相交答案：B2圆x2y250与圆x2y212x6y400的公共弦长为()A. B. C2
11、 D2解析：两圆的方程相减，可得公共弦所在的直线为12x6y900，即2xy150，设公共弦为AB.由解得A(7,1)，B(5,5)，即|AB|2.答案：C3已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B两点，则直线AB的方程是_解析：两圆相交其交点所在直线方程为(x1)2(y3)220x2y2100，即x3y0.答案：x3y04以(0,2)为圆心，且与圆x2y21相外切的圆的方程是_解析：设所求圆的半径为r，则2r1，r1，故所求圆的方程是x2(y2)21.答案：x2(y2)215若集合A(x，y)|x2y216，集合B(x，y)|x2(y2)2a1，当AB时，求a的取值范围解：由题意知，此题应分三种情况：(1)B，则a1.(2)B且B中只有一个元素，则a10，即a1，不在集合A中，满足题意(3)集合B中含有无数个元素，则两个集合所表示的圆内含或相离，圆x2y216的圆心为O1(0,0)，半径为4，圆x2(y2)2a1的圆心为O2(0,2)，半径为，所以a1.|O1O2|2.两圆内含时，|O1O2|4或|O1O2|4，即24或24，解得1a5或a37；两圆相离时，|O1O2|4，即24，无解综上所述，a的取值范围是a5或a37.1
