波利亚解题表

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1、波利亚的怎样解题表怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对问题解决”重 要性的突出强调，同时也表明其对问题解决”研究兴趣集中在启发法上.波利亚在风靡世界的怎样解题（被 译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”.2.1 “怎样解题”表的呈现弄清问题第一，你必须弄清问题未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充 分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号.把条件的各个部分分开.你能否把它们写下来？拟定计划AA* *第-二，找出已知 数与未知 数之间的 联系.

2、如果 找不出直 接的联系，你可能不你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题.你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它？得不考虑 辅助问题.你应该最 终得出一 个求解的 计划回到定义去.如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更 容易着手的有关问题？ 一个更普遍的问题？ 一个更

3、特殊的问题？ 一个类比的问题？你能否解决这 个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分.这样对于未知数能确定到什么程度？ 它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的 其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新 数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中 的必要的概念？实现计划第二，实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤.你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?回 顾你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看第四

4、，验算所得出它来？到的解.你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？F面是实践波利亚解题表的一个示例，能够展示波利亚解题风格的心路历程，娓娓道来，栩栩如生.2.2“怎样解题”表的实践例1给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F.（学生已学过棱柱、棱锥的体积）【讲解】第一，弄清问题.问题1.你要求解的是什么？要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来（图1）.问题2.你有些什么？一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h；另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式，并积累有 求体积公式的初步经验.把已知的三个量添到图示处（图2）,就得到新添的三

5、个点a、b、h；它们与F之间有一 条鸿沟，象征问题尚未解决，我们的任务就是将未知量与已知量联系起来.第二，拟定计划.问题3.怎样才能求得F?由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构;棱台的定义）告诉我们，棱台是“用一个 平行于底面的平面去截棱锥”,从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的.如果知道了相应两棱锥的体积B和A， 我们就能求出棱台的体积F = BA.我们在图示上引进两个新的点A和B，用斜线把它们与F联结起来，以此表示这三个量之间的联系（图 3,即式的几何图示）.这就把求F转化为求A、B.问题4.怎样才能求得A与B?依据棱锥的体积公式（V= Sh），底面积可由已知条件直接求得

6、，关键是如何求出两个棱锥的高并 且，一旦求出小棱锥的高X,大棱锥的高也就求出，为x + h.我们在图示上引进一个新的点x,用斜线把A与x、a连结起来，表示A能由a、x得出，A= a 2 x；类似地，用斜线把B与b、h、x连结起来，表示B可由b、h、x得出，B = b 2 （x + h）（图4），这 就把求A、B转化为求X.问题5.怎样才能求得X?为了使未知数x与已知数a、b、h联系起来，建立起一个等量关系.我们调动处理立体几何问题的 基本经验，进行“平面化”的思考用一个通过高线以及底面一边上中点（图5中，点Q）的平面去截两个棱锥，在 这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、x联系起来（转化为

7、平面几何问题），由VP01svQ02得这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解.解方程，便可由a、b、h表示x,在图示中便可用 斜线将x与a、b、h连结起来.至此，我们已在F与已知数a、b、h之间建立起了一个不中断的联络网，解 题思路全部沟通.第三，实现计划.作辅助线（过程略）如图5，由相似三角形的性质，得，解得x=.进而得两锥体的体积为 A= a 2x= ，B= b2（x + h） = ，得棱台体积为F = B-A= =（a2+ab+b2） h.第四，回顾.（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的.再作特殊性检验，令a-0,由可得正四棱锥 体的体积公式；令a-b，由可得正四棱柱体的

8、体积公式.这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示 出棱台体积公式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的联系记忆.（2）回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息（如图1所示，有棱台，a、b、h、F共5条信息），同时又要及时提取记忆网络中的有关信息（如回想：棱台的定义、棱锥的体积公式、相似 三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息），并相应将两组 信息资源作合乎逻辑的有效组合.这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划（包括解题策 略）.由这一案例，每一个解题者还可以根据自己的知识经

9、验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模 式.（3）在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件为了 求F,我们只需求A、B（由棱台体积到棱锥体积的转化一由未知到已知，化归）；为了求A、B,我们只需求 x（由体积计算到线段计算的转化一由复杂到简单，降维）；为了求X,我们只需建立关于x的方程（由几何到代 数的转化一一数形结合）；最后，解方程求X,解题的思路就畅通了，在当初各自孤立而空旷的画面上（图1）,形 成了一个联接未知与已知间的不中断网络（图5），书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述.这个过程显示了 分析与综合的关系，“分析自然先行，综合后继；分析

10、是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行 这个计划”.（4）在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功应用.首先是一般性解决（策略水平上的解决）， 把F转化为A，B的求解（F = A B）,就明确了解题的总体方向；其次是功能性解决（方法水平的解决），发 挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能；最后是特殊性解决（技能水平的解决），比如按照棱台的几 何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实 际完成.（5）在心理机制上，这个案例呈现出“激活一一扩散”的基本过程.首先在正四棱台（条件）求体积（结论） 的启引下，激活了记忆网络

11、中棱台的几何结构和棱锥的体积公式，然后，沿着体积计算的接线向外扩散，依次 激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识（参见图1图5），直到条件与结论之间的网络沟通.这种“扩 散激活”的观点，正是数学证明思维中心理过程的一种解释.（6）在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”的一次成功应用.首先把棱台补充（组合）为棱锥，然后 再把棱锥截成（分解）棱台并作出截面，这种做法在求棱锥体积时曾经用过（先组合成一个棱柱、再分解为三个棱 锥），它又一次向我们展示能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，而平面化”的思考则是沟通立体几何与 平面几何联系的一座重要桥梁.这些都可以用于求解其他立体几何问题，并且作为一

12、般化的思想（化归、降维） 还可以用于其他学科.（7）“你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答，操作上未实 现只是能力问题或暂时现象.对于本例，按照化棱台为棱锥的同样想法，可以有下面的解法.如图6,正四棱台ABCD-A1B1C1D 1中，连结DA1，DB1，DC 1，DB，将其分成三个四棱锥D -A1 B1 C1 D1，D-AA1 B1 B，D-BB1 C1 C，其中=b2h,=.（等底等高）为了求，我们连结AB1，将其分为两个三棱锥D-ABB1与D-AA1B1 （图7），因故 =,但 = a 2 h= a2 h,故 =+=a2 h+ a2 h= (a2+ab

13、 ) h.从而=+ +=(a2+ab)h+ (a2+ab)h+ b2 h=(a2+ab+b2) h.（8）“你能不能把这一结果或方法用于其他问题?”能，至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台 体积公式（方法是一样的）注意到a2=S 1, b2=S 2,ab=,可一般化猜想棱台的体积公式为台=（S1+ +S2）h.3波利亚的解题观对于波利亚的怎样解题表及有关著作，人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认识（见参考文 献），我们将其归结为5个要点.3.1程序化的解题系统怎样解题表，就“怎样解题”、“教师应教学生做些什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按 照正常人解决问题时思维的自然

14、过程分成四个阶段一弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，从而描绘出解 题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统.既体现常识性，又体现由常识上升为理论（普遍性） 的自觉努力.这四个阶段首先是一个四步骤的宏观解题程序，其中“实现计划”虽为主体工作，但较为容易完成，是 思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”；其次，“弄清问题”是认识问题、并对 问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段, 波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法，在整个解题表中拟定计划”是关键环节和 核心内容.“拟定计划”的过

15、程是在“过去的经验和已有的知识基础上，探索解题思路的发现过程，波利亚的建议 是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系（模式识别等）；第二，如果找不出直接的联系，就 对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题，为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定 义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化，一般化，类比等，积极诱发念头，努力变化 问题.这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分配.于是，这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实践于一体.3.2启发式的过程分析（1）还在当学生的时候，波利亚就有一个问题一再使他感到困惑：“是的，这个解答好像还行，它看起 来是正确的，但怎样才能想出这样的解答呢?是的，这个实验好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发 现这样的事实?而且我自己怎样才能想出或发现它们呢? ”从解题论的观点看，这实际上是既提出了“怎样解题” 又提出了“怎样学会解题”的问题，波利亚说，这“终于导致他写出本书”（指怎样解题）.波利亚认为“数学有两个侧面”，“用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学；但在创 造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学这两个侧面都像数学本身一样古老