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1、四点共圆证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上， 若能证明这一点，即可肯定这四点共圆.方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底 边的同侧，若能证明其顶角相等（同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定 这四点共圆.（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点 连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点 共圆）方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个 外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆（可以说成：若平面 上四点
2、连成四边形的对角互补或一个外角等于 其内对角。那么这四点共圆）方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交 点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两 两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两 线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四 点也共圆.（根据托勒密定理的逆定理）方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆.既连成 的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点 共圆.方法6同斜边的两个RT三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的 直径判定与性质:圆内接四边形的对角和为180,并且任何一个外
3、角都等于它的内对 角。如四边形ABCD内接于圆0,延长AB和DC交至E,过点E作圆0 的切线 EF, AC、BD 交于 P,贝U A+C=n，B+D=n，角DBC=角DAC （同弧所对的圆周角相等）。角CBE=角ADE （外角等于内对角） ABPDCP （三个内角对应相 等）AP*CP=BP*DP （相交弦定理EX. 交子.即EF为的铜鶴四点共圆的图片EB*EA=EC*ED （割线定理EF*EF= EB*EA=EC*ED （切割线定理（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幕定理弦切角定理AB*CD+AD*CB=AC*BD （托勒密定理 Ptolemy ）四点共圆的判定定理：用反证法证明现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如 下（其它画个证明图如后）已知：四边形ABCD中，Z A+ZC=180求证：四边形ABCD内接于一个圆（A, B, C, D四点共圆）证明：用反证法过A, B, D作圆O,假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内， 若点C在圆外，设BC交圆O于C，连结DC，根据圆内接四边形的 性质得Z A+ZDCB=180。,VZ A+ZC=180 ZDCB= ZC这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能 在圆内。C在圆O上，也即A, B, C, D四点共圆。
