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1、初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、A 是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 填空：最短周长=_变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直
2、线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B在O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧： 过A点作ACm,且AC长等于PQ长，连接B
3、C,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）点A、B在直线m同侧：练习题1如图，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值为Q2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为3、如图，在锐角三角形ABC中 ，AB=，BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？4、如图4所示，等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2
4、,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点P是AB上一个动点，当PCPD的和最小时，PB的长为_6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为7、如图5菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内
5、离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm10、如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点则PB+PE的最小值是 12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为 13、如图，正方形ABCD的边长是2，DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 14、如图7
6、，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为cm（结果不取近似值）15、如图，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 16、如图8，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为( )(A)2 (B)(C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）
7、如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上
8、是否存在点C，使AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由；4如图，抛物线yx2x3和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长5如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A
9、、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标6如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，3），B(4，1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a 为何值时，四边形ABDC的周长最短7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两
10、个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，PAPBAB，而PAPB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时PB=PB，PA-PB最大值为AB练习题1. 如图，抛物线yx 2x2的顶点为A，与y 轴交于点B(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PAPB
11、AB；(3)当PAPB最大时，求点P的坐标.2. 如图，已知直线yx1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx 2bxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标yxCBADOEy 3、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，1）和（2，5）；点P是y轴上的一个动点，点P在何处时，PAPB的和为最小？并求最小值。点P在何处时，PAPB最大？并求最大值。4. 如图，直线yx2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，A经过点B和点O，直线BC交A于点D（1
12、）求点D的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标若不存在，请说明理由5、抛物线的解析式为，交x轴与A与B,交y轴于C，在其对称轴上是否存在一点P，使APC周长最小，若存在，求其坐标。在其对称轴上是否存在一点Q，使QBQC的值最大，若存在求其坐标。6、已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO（1）试直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQx轴于点Q，连接OP若以O
