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1、第8讲离散型随机变量的均值与方差最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.知 识 梳 理1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称D(X)_(xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.2.均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(a
2、Xb)a2D(X)(a，b为常数).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p).(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.()解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型
3、随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修23P68T1改编)已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A. B.4 C.1 D.1解析E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.答案A3.已知某离散型随机变量X的分布列如下表，则随机变量X的方差D(X)等于()X01Pm2mA. B. C. D.解析由已知得m2m1得m，由于X服从两点分布，所以D(X)m2m.答案B4.设随机变量X的分布列为P(Xk)(k2，4，6，8，10)，则D(X)等于_.解析E(X)(246810)6，D(X)(4)2(2)
4、20222428.答案85.(2015广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)30，D(X)20，则p_.解析由于XB(n，p)，且E(X)30，D(X)20.所以解之得p.答案6.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量X的数学期望E(X)_(结果用最简分数表示).解析随机变量X只能取0，1，2三个数，因为P(X0)，P(X1)，P(X2)，故E(X)12.答案考点一一般分布列的均值与方差【例1】 (2017台州调研)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：
5、滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E()，方差D().解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为P1，两人都付40元的概率为P2，两人都付80元的概率为P3，则两人所付费用相同的概率为PP1P2P3.(2)设甲、乙所付费用之和为，可能取
6、值为0，40，80，120，160，则：P(0)；P(40)；P(80)；P(120)；P(160).的分布列为04080120160PE()0408012016080.D()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.规律方法(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用.【训练1】 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y0
7、2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：(1)工程延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率.解(1)由条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列为：Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20
8、.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率加法公式， 得P(X300)1P(X300)0.7，又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由条件概率，得P(Y6|X300)P(XE(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.法二设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y2，则Y1，Y2的分布列为：Y1024PY2036PE(Y1)024，E(Y2)036，因为E(Y1)E(Y2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大.规律方法二项分布的期
9、望与方差.(1)如果B(n，p)，则用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同样还可求出D(ab).【训练2】 (2017诸暨模拟)甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为，甲、丙都考不上的概率为，乙、丙都考上的概率为，且三人能否考上相互独立.(1)求乙、丙两人各自考上的概率；(2)设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望.解(1)设A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示
10、“丙考上”，则P(A)，且解得P(C)，P(B).乙考上的概率为，丙考上的概率为.(2)由题意X的可能取值为1，3，P(X1)，P(X3)，X的分布列为：X13PEX13.考点三均值与方差在决策中的应用【例3】 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2
11、)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解(1)依题意，p1P(40X120)0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为pC(1p3)4C(1p3)3p340.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形.依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列
