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1、泰勒公式与导数的应用名称主要内容泰勒公式泰勒中值定理：如果f (x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n +1阶的导数，则对任一 f / (x )x e (a,b)，有f (x) = f (x ) + f/(x )(x-x ) + (x-x )2 + 0 0 0 2! 0f (n) (x )+产(x x0) n + R (x)，此公式称为n阶泰勒公式；n!0nf (n+1) (g )其中R (x)二(x x0)n+1( g介于x0于x之间)，称为拉格朗日型余项；或R (x)二o(x x0)n，称为皮亚诺型余项。n0n阶麦克劳林公式：f / (0)f (n) (0)f (x) = f (0)
2、 + f /(0)x +x2 + +xn + R (x)2!n!nf (n+1) (0x)其中 R (x)二xn+1(0 0 1)或R (x)二 o(xn) on(n +1)!n1x2xn常用的初等函数的麦克劳林公式：1) ex = 1 + x +万+万+).x 3x 5x 2 n+12) sinx x+ ( 1)n+ o(x2n+2)23!5!(2n +1)!1x 2x 4x 6x 2 n3) COS x 1 -+ -+ (-1)n + o(x2n+1)322!4!6!(2n)!x 2x 3xn+14) ln(1 + x) x-+ + (-1)n + o(xn+1)23n +15) 1 1
3、+ x + x2 + xn + o(xn )1- xm(m-1) c 丄丄 m(m-1)(m-n +1)()6) (1 + x)m 1 + mx +x2 +1xn + o(xn )2!n!巩固练习1.按(x1)的幂展开多项式f (x)二x 4 + 3 x 2 + 4。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法。求/(x)按(x x0)的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求/(x)直到n + 1 1 2=2 + (x 一 4) 一(x 一 4)2 +(x 一 4)3 一(x 一 4)4，( 介于 x 与 4 之间)。4642127128 2阶的导 数在x二x0处的值，然后带代入公式即可。解：f(x)二 4x3
4、 + 6x，广=10 ； f(x)二 12x2 + 6，f =18 ；r(x) = 24x，f(1)= 24 ； f (4)(x)二 24 ； f (4)(1)二 24 ； f (5)(x)二 0 ；将以上结果代入泰勒公式，得f (x) = f (1)+ 罟(x 1) +罟(x 1)2 +x 1)3 + 4( x 1)4二 8 +10(x 1) + 9(x 1)2 + 4(x 1)3 + (x 1)4。2.求函数f (x)二x按(x 4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。 知识点：泰勒公式。思路：同 1。32解：f (x) = 丁=，f =-；f (x) = - x- 2，f= 2：
5、 x44353严(x) = 8 x2，严=页f(4 丿(x)二一1276x 2 ；将以上结果代入泰勒公式，得f (x) = f + 罟(x 4) + 罟(x 4)2 +3( x 4)3 +(x 4)43.把 f (x)=1 + x + x 21 x + x2在x = 0点展开到含x 4项,并求 f (3) (0) 。1 + x + x21 x + x2 + 2x2x1解 f(x) = 1=1 x + x 2= 1 += 1 + 2 x(1 + x)市=1 + 2x(1 + x)(1 x3 + o(x3) = 1 + 2x + 2x2 2x4 + o(x4).厂(0)又由泰勒公式知x 3前的系数
6、丄3产=0，从而 广(0)= 0。4.求函数f (x) = ln x按(x 2)的幕展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同1;或者间接展开法，f(x)为对数函数时，通常利用已知的结论x 2x3x n+1ln(1 + x) = x + + (1)n -+ o(xn+1)。23n+1方法一：(直接展开)f(x)=-,广(2)= 2 ； f(x)=丄,f(2) = 4 ；x2x 24f (x)=-,厂=1 ；f (n)(x) = (1) n 1(2, f (n)(2) = (1) n-1 (2 x34x 2,(n 1)!xn,f (n)(2) = (1)2n
7、将以上结果代入泰勒公式，得ln x=/(2)+罟(x - 2)+罟(x - 2)2+守x - 2)3+x - 2)4+ f(n) n!(x 2) n + 0( x 2) n) = ln2 + -(x 2) (x 2)2 + (x 2)3 2233 - 23+ ( 1) n-1 (x 2)n + 0(x 2)n )o n - 2 n方法二：/(x) = lnx = ln(2 + x一2) = ln2 + ln(1 +) = ln2 + 2 一2()21 x21 x2x211+ g (十)3 + (1)n-1 ()n + 0(十)n ) = ln 2 + (x 2) (x 2)232n 22223
8、+ L(x 2)3 + (1)n1 (x 2) n + o( x 2) n ) o3 - 23n - 2 n5.求函数f (x)=-按(x + 1)的幕展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。x知识点：泰勒公式。思路： 直接展开法， 解法同 1 ; 或者间接展开法， f(x) 为有理分式时通常利用已知的结论+ Xn +Xn+1(1g ) n+2方法一:f(x)=丄,f(-1) = 1 ； f(x) = - , f(-1) = 2 ； f(x) = -,X 2X3X 4n!n!f (-1) =-6 ,f(n)(X)= (-1), f (”)(一1) = (_l)n -X n+1(-1) n+1将
9、以上结果代入泰勒公式，得=f (-1) +Xf(-D1!(X+1)+f(-1)2!(X+1)2 +八-1)3!(X+1)3 +f (- CDn!(X +1)n +f(-+D(d)(n +1)!(X + 1)n+1=-1 - (X + 1) - (X + 1)2 - (X + 1)3(X + 1)-( - 1) - +1(x +1)-+1( E介于x与一1之间)。方法二:11 - (X + 1)= -1 + ( X + 1) + ( X + 1) 2 + ( X + 1) 3 + + ( X + 1) -(-1)-+1(-1)-+1+ J(X + 1)-+1 =- 1 - (X + 1) - (
10、X + 1)2 - (X + 1)3(X + 1)n +二(X + 1)-+1E-+2E-+2(E介于X与一1之间)。求函数y = XeX的带有皮亚诺型余项的-阶麦克劳林展开式。知识点:麦克劳林公式。思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。f(x)中含有eX时，通常利用已知结论eX = 1 + X + 乂 + + 巴 + o( X-) 2!-!方法一：y = (X + 1)ex，y(0) = 1 ； y = (X + 2)ex，y(0) = 2 ；,y(-丿=(x + -)exy(-)(0) = -，将以上结果代入麦克劳林公式，得f (0) f (0) f (0)f(-)(0)xex f (0
11、) + + x + x 2 +x 3 +X- + o( X-)1!2!3!-!X3X -X + X 2 + 0( X-)2!(- -1)!方法二：xex = x (1 + x + 兰 + + - + o( xn-1) = x + X 2 + 兰 + 2!(n 1)!2!xn(n 1)!+o(xn) 。7.验证当0 x 2时,x 2x3所产生的误差小于按公式ex沁1 + x + +石计算e x的近似值时,01，并求*的近似值，使误差小于01 。知识点：泰勒公式的应用。思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。解：|R3( x)| =x 44!4!192 0-01 ；血1+2 + 8
12、 + 48 646。8.用泰勒公式取n二5，求ln12的近似值，并估计其误差。 知识点：泰勒公式的应用。解：设 f (x) = ln(1 + x)，则 f (x) f (0) + 罟x + 罟x2 +x5x 2x50.2 20.230.2 40.25=x-乙 + + 丁，从而ln12 = /(2)沁 .2 + 4 + 凝 01823 ；其误差为：lR5(x)二16(1 + )6x6 026 沁 0.0000107。69.利用函数的泰勒展开式求下列极限：1 1II*(1) lim(3 x3 + 3x x 2 一 x)；x T+82)1 + x 2 斗1 + x 2 lim Jx-0 (cos x
13、 一 ex2) sin x2知识点：泰勒展开式的应用。思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。解：(1)lim (v x3 + 3x x2 一 x)x T+8lim x (1 + )3 x (1 丄)213_ limx(1 + 3 x 2x 2_ lim (匚 + 丄 + 0(丄)_ x2xT+81xJ28 x+ 0(丄) x(1 +1 -(丄)+2X|(| -1)21 +X2G）1丄1 +X 2 (1 + X2 ) 211 + x 2 lim 2xtO一 1 _ lim21(11)11门 12(21)1 +x 2 一 (1 + x 2 +_ lim22-1(1 * + 0(
