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1、精心整理啤酒瓶换啤酒问题青岛开发区初级实验初中孙艺格指导老师：葛岩岩一. 问题的提出 ?在日常生活中 , 我们经常会遇到用空啤酒瓶换啤酒的问题。喝完了啤酒还能用空瓶换啤酒继续喝，那么你研究过到底你能换多少啤酒吗？怎么合算呢？如果你没有经历过这种事情，下面这道数学题应该见到过吧： ?现有 10 瓶啤酒，每三个空瓶可以换一瓶新的啤酒。问总共能喝到多少瓶啤酒呢？?就这个问题，大部分人给的答案通常都是14 瓶（先喝10 瓶，用9 空瓶换来3 整瓶，喝3 瓶，还有3+1=4 个空瓶。然后用3 个空瓶再换一整瓶，喝掉。最后剩下2 个空瓶。共10+3+1=14瓶）。然而有些更聪明的人却认为正确答案应该是15
2、 瓶。他们认为剩下的那两个空瓶仍然能够被利用，先借来一瓶啤酒，喝完后，连同剩下的两个空瓶一起还给人家，这样就可以喝15 瓶了。 ?我思考再三也觉得这就是这道题的正确答案。?最近老师布置了作业， 我突然又想到了这个问题， 它能不能被深入地推广到一般情况呢？下面就是我对这个问题的思考与研究。二. ?数学模型建立?下表列出了原有啤酒瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：原有啤酒瓶数 X实际能喝到的瓶数1123344657697108129131015页脚内容精心整理通过观察，我把上表整理如下，大家能发现什么规律吗？?原有啤酒瓶数 X实际能喝到的瓶数2346698121015113457710913根据归
3、纳总结，我发现有这样一条规律：?当原有啤酒瓶数X 为偶数时，则实际能喝到原来1.5 倍瓶数的啤酒。 ?当原有啤酒瓶数X 为奇数时，则实际喝到原来1.5 倍瓶数取整数的啤酒。 ?这是简单的一般归纳得出的结论，但能普遍用于一般情况吗？那就要通过下面的分析来解决。三. ?数学模型分析与问题的解决?经过仔细分析，我发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用前面提到的“借瓶子”的方法再喝一瓶啤酒。 我们可以这样处理那些剩余的空瓶：把所有空瓶分为两个两个一组，每一组等于一瓶“没有空瓶”的啤酒（只可以喝，但不能得到空瓶）。这样把问题简化了，就可描述如下：当原有瓶数 X 为偶数时：先喝掉X 瓶，然后把空瓶分为2 个
4、组，每组 0.5X 个正好分完。每组又是一瓶。共喝掉X?+?0.5X?=?1.5?X 瓶。 ?当原有瓶数 X 为奇数时：先喝掉X 瓶，然后把空瓶分为2 个组，每组 0.5 （ X-1）个，还剩一个空瓶，浪费掉。共喝X?+0.5（ X 1） =?1.5X-0.5瓶。通过这两个式子， 算出来的结果与上面整理过的表格完全一一对应。完全归纳得出的结论。通过这种思想，我们能不能进一步再推广呢？如果是这也进一步验证了我们不4 个、 5 个或更多空瓶换一瓶啤酒，又会怎么样呢？四. ?数学模型的进一步推广 ?现有 X 瓶啤酒，每 Y 个空瓶可以换一瓶新的啤酒。问总共能喝到多少瓶啤酒呢？页脚内容精心整理由上面的推导过程来看，如果是 Y 个空瓶可以换一瓶啤酒，那么每拥有（ Y1）个空瓶，就可以用“借瓶子”法得到一瓶啤酒。所以当喝完 X 瓶啤酒得到 X 个空瓶之后，又能喝到 ?X/（Y1）?瓶啤酒。总共就是 ?X?+?X?/（Y1）? 瓶啤酒 ( 若除不尽时则向下取整数 ). 整理该式子，就得到了最后的结论：可以喝到 ?XY?/ （Y1）? 瓶啤酒 ( 若除不尽则向下取整数 ) 。五. ?论文总结：问题：现有 X 瓶啤酒，每 Y 个空瓶可以换一瓶新的啤酒。问总共能喝到多少瓶啤酒呢？?通过上面的分析， 那么我们可知总共可以喝到?XY?/（Y1）? 瓶啤酒 ( 若除不尽则向下取整数) 。页脚内容
