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1、姓名 *哈尔滨市第十一中学高一数学学案* 时间平面向量的数量积的物理背景及其含义【知识要点】1、平面向量数量积（内积）的定义： 叫与的数量积，记作ab，即有ab = .并规定 与任何向量的数量积为0 *两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.说明：（1）当时，与 ； （2）当时，与（3）当时，与垂直，记（4）两向量夹角必须是同起点的.范围0q180 2.“投影”的概念：定义： 叫做向量b在a方向上的投影. 3向量的数量积的几何意义：数量积ab等于4两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1 ab 2当a与b同向时，ab = 当a与b反向时，ab = 特别的aa =
2、或 3 |ab| 4 cosq =【典型例题】例1、 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角=120o，求ab.变式：已知，求. ， 与的夹角是60，例2设向量的模，与向量的夹角为，则在方向上的投影为例3、判断下列命题的真假，并说明理由.在中，若，则是锐角三角形；在中，若，则是钝角三角形；为直角三角形，则.变式：已知，当=4，.=8时，判断形状【课后作业】1. 其中正确的序号是 =； 0=0；|=|；=0= 或=； ()=，与是两个单位向量，则2、3，=4，与的夹角为150o ，求ab=3、设，则与的夹角=4、在中，a=5,b=8, C=60o 求=5、已知| a |6 ，e为单位向量，
3、他们之间的夹角分别为45，90、135，则a 在e 方向上的投影分别为_6、的三边长均为1，且a，b，c，求abbcca的值.平面向量数量积的运算律【知识要点】交换律：a b = 数乘结合律：(a)b = = 分配律：(a + b)c =说明：（1）一般地，()（） （2），0（3）有如下常用性质： （）（） 【典型例题】例1、 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o，求(a+2b)(a-3b).变式1. . ，且与的夹角为，求 、变式2：已知与的夹角为，且，求变式3：若，且，求与的夹角。例2 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相
4、垂直. 例3、判断正误，并简要说明理由.=； =0，则=或= （+）=+；（）=（）； ，=； |=| .【课后作业】 1. 已知|a|=1，|b|=，(1) 若a、b的夹角为，求|a+b|；(2) 若a-b与a垂直，求a与b的夹角.2.已知，则= ， = .3. 已知|a|=4，|b|=5，|a+b|=，求a与b的夹角为 .4、设|a|=3，|b|=5，且a+b与ab垂直，则 .5、已知ab、c与a、b的夹角均为60，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)_.6、设是两个单位向量，其夹角为，求向量与的夹角.7、下列命题其中正确的是 .00；0；与是两个单位向量，则()，则=
5、 若0，则对任一非零有；，则与中至少有一个为0；对任意向量，都有（）（）；. =0，则|+|=|8、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角.9、用向量法证明：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识要点】 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，.即= (a)设，则 或 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么 (平面内两点间的距离公式)(b)向量垂直的判定：设，则(1) (2) cosq = 【典型例题】例1已知a（，），b（，），求ab 、a（2a+b）及a与b的夹角变式：a（2，3），b（-2，4），
6、求ab 、a（a+b），及(a-b)（a+b），例2、已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断ABC的形状，并给出证明.变式：在ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且ABC的一个内角为直角，求k值.【课后作业】1、若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|ab .2. 已知平面内三个点，则向量与的夹角为 .3. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC形状 .4.（1）已知 3，b = (1， 2)且ab，求a的坐标 .（2）已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b的坐标 .5.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，
7、则a与b的夹角为 .6.已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足ca = 9与cb = -4的向量c .7、已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的投影值为（ ）8、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= .9.以原点和A(5，2)为两个顶点的等腰直角三角形OAB，=90，求点B和的坐标. 向量与三角函数、解三角形结合例1.已知向量，设函数 求的最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值例2、已知三个顶点，若，则为（ ）A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形例3、在中，角的对边分别为（1）求； （2）若
8、，且，求课后作业：1、已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形3、在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值4. 已知，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为、。(I)若，求角的值；(II)当时，求的值。6、已知向量,函数(1)求的周期和单调增区间；(2)若在中，角所对的边分别是，求的取值范围。7. 已知的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量（I）如果求a的值；（II）若请判断的形状.向量综合应用【知识要点】一、向量常见结论1.若存在实数,等于已知
9、三点_特别地，当2、 则 3.(1)在中， ，等于已知是的-心（2）在中， ，等于已知是的-心（3）在中， 等于已知通过的-心；（4）在中，给出，等于已知是的-心注明：（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。【典型例题】例1、已知点、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则 ( )(A) 点P在线段AB上 (B) 点P在线段AB的反向延长线上(C) 点P在线段AB的延长线上 (D) 点P不在直线A
10、B上例2、设点是线段的中点，点在直线外， ，则_例3、已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ） A2 B C3 D6向量坐标法应用例1、用向量法证明：例2、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_，的最大值为_。EA E BC D变式：在正三角形中，是上的点，则 。课后作业：1、O.A.M.B为平面上四点， A.点M在线段AB上 B.点B 在线段AM上 C. 点A在线段BM上 D、O、A、M、B共线2.在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足，则()等于 3在中，是边的中点，则 4.在中，O为中线AM上一个动点，AM=2，则的最小值是_5.在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_.6.点G是ABC的重心，D是AB的中点，则+-等于 A.4 B.-4 C.6 D.-67. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心（C）外心 重心 垂心（D）外心 重心 内心8、所在平面内点、，满足，则的轨迹一定经过的 _心。9.若的外接圆的圆心为O，半径为1，则_10设I为ABC的内心，当AB=AC=5且BC=6时，=+，那么=
