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1、专题05立体几何（选择题、填空题）1 . 2019年高考全国I卷理数】已知三棱锥 P-ABC的四个顶点在球 O的球面上，FA=PB=PC, AABC是边长为2的正三角形，E, F分别是PA, AB的中点，/ CEF=90则球o的体积为C. 2.6D. 、. 6【答案】D【解析】解法一:QPA PB PCAABC为边长为2的等边三角形,P ABC为正三棱锥,PB AC，又E , F分别为PA , AB的中点， EF / PB , EFEFCE，CE I AC C,EF 平面 PAC , PB 平面 PAC, APBPAPBPCP ABC为正方体的一部分，2R 2 2 2 ,6，即R 丄6,V2R
2、37t6_68故选D .解法二：设PA PB PC 2x, E, F分别为PA, AB的中点,EF / PB ,EF1 PB2Q ABC为边长为2的等边三角形，CF 3 ,又 CEF 90 , CE 、3 x,AE AEC中，由余弦定理可得 cosEAC作PD AC于D ,Q PA PC ,D为AC的中点,cosEAC如PA12x2 2x 4 3 x4x丄2x，#2 22x 12, x-,x - , PA PB2 2PC又 AB=BC=AC=2,PA , PB , PC两两垂直,2R 2 2 26, R f, TR33呼，故选D.EB【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球
3、问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决.2 【2019年高考全国n卷理数】设 a 3为两个平面，则 a/ 3的充要条件是A . a内有无数条直线与 3平行B . a内有两条相交直线与B平行C . a,3平行于同一条直线D . a, 3垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是 /的充分条件，由面面平行性质定理知，若 /,则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是 /的必要条件，故选B .【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性
4、质定理即可作出判断面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如:若a ,b,a/ b，则 / ”此类的错误.3. 【2019年高考全国川卷理数】如图，点 N为正方形 ABCD的中心，AECD为正三角形，平面 ECD丄平面ABCD , M是线段ED的中点，则A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B .BM 壬N,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM 毛N ,且直线BM,EN是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD于O ,连接ON , BD，易得直线BM , EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作M
5、FOD于F ,连接BF，Q平面CDE平面 ABCD , EO CD,EO 平面 CDE , EO平面ABCD，MF 平面ABCD， MFB 与 EON均为直角三角形.设正方形边长为2 ,易知 EO 3,ON 1, EN 2 ,MF f,BF |,2 2.解答本题时，先利【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题.幕势既同，则积不容异”称为祖4. 【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单
6、位：cm）,则该柱体的体积（单位：cm3）是4I1 t111i1A 158C 182【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为B 162D 3246，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4,BF ,过 D 作 DH / AC ,交 BG 于 H ,则 BPF,PDB均为直角三角形，可得 COSPF EG DH BDPB PB PB PBcos ,即2 64 6下底为6,咼为3,另一个的上底为2,下底为6,咼为3,则该棱柱的体积为33 6 162 .2 2故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体一一棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目难度不大，注重了
7、基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误为避免出错，应注重多观察、细心算 5. 【2019年高考浙江卷】设三棱锥 V-KBC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）记直线PB与直线AC所成的角为a,直线PB与平面ABC所成的角为3,二面角P -的平面角为Y则A 3 Y a 丫C 3 a, Y a【答案】B【解析】如图，G为AC中点，连接VG , V在底面ABC的投影为0,则P在底面的投影 D在线段AO 上,过D作DE垂直于 AC于E,连接 PE, BD ,易得PE/ VG ,过P作PF / AC交VG于F ,连接PBD,
8、 PED ,结合 PFB , ABDH ,在 RtPED 中，tanPD PDED BD，综上所述，答案为 B.ta n，即【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念,以及各种角的计算解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小而充分利用图形特征，则可事倍功半常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用特殊位置法”，寻求简便解法6. 【2018年高考全国I卷理数】某圆柱的高为 2,底面周长为16,其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面
9、上，从 M到N的 路径中，最短路径的长度为A 2.17B 2、5C. 3D 2【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M在上底面上，点N在下底面上，且可以确定点 M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为 V42 + 22 = 2 v5，故选B .【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果7. 【2018年高考全国I卷理数】已知正方体
10、的棱长为 1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为2 ：33.34:31!八4【答案】A【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的,所以在正方体 ABCD A1B1C1D1中,平面ABiDi与线AA, aibi , A1D1所成的角是相等的，所以平面ABiDi与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理，平面CiBD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面ABiDi与CiBD中间，且过棱的中点的正六边形，且边长为上2，2所以其面积为S 6 ，故选A.424【名师点睛】该题考查的是有关平面被正方体所
11、截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果即首先利用正方体的棱是 3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果8. 【2018年高考全国I卷理数】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬
12、合时带卯眼的木构件的俯视图可以是CD【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故选A 9. 【2018年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm3）是俯视图侧视图A . 2C. 6【答案】CB. 4D. 8【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2,底面为直角梯形，上、下底分别为1 , 2,1梯形的高为2,因此几何体的体积为一122 26,2故选C.【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等10. 【2018年高考全国I卷理数】设A , B ,
13、 C , D是同一个半径为4的球的球面上四点， ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三棱锥D ABC体积的最大值为A. 12.3B. 183C. 24 3D. 54.3【答案】B【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，O/ - 0；扌UR-g-if-*r当点D在平面ABC上的射影为M时，三棱锥D ABC的体积最大，此时，OD OB R 4 ,qSbc3 AB2 9.3， AB 6,Q 点 M 为三角形 ABC 的重心，BM - BE 2 3，43RtAOBM 中，有 OM OB- BM22， DM OD OM 4 2 6，1 _ Vd ABC max - 93 6 18.3，故选 B.3【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点 D在平面ABC上的射影为三角形 ABC的重心时，三棱锥 D ABC体积最大很关键,C由M为三角形ABC的重心，计算得到 BM - BE 2、3，再由勾股定理得到 OM,进而得到结果，3属于较难题型11. 【2018年高考全国H卷理数】在长方体ABCD ABQQ中，AB BC 1 , A丽，则异
