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1、高等数学 II试题一、填空题（每小题3 分，共计 15 分）1设 zf ( x, y) 由方程 xyyze xz 确定，则zx。2函数 u 2xy2z3xyz 在点 P0 (0,1,2) 沿方向 l的方向导数最大。3L 为圆周 x2y24 ，计算对弧长的曲线积分Lx 2y 2 ds =。已知曲线 x t , yt 2 , z t3P 处的切线平行于平面 x2yz2 ，则4点 P 的坐标为上点或。5 设 f ( x) 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 ， 它 在 区 间 (1, 1 的 定 义 为f ( x)21x0x0x1 ，则 f (x) 的傅里叶级数在 x1 收敛于。二、解答下列各题
2、（每小题7 分，共 35 分）f ( x, y)I1dx2xf (x, y) dy1设连续，交换二次积分011 x2的积分顺序。2计算二重积分 Dx2y2 dxdy，其中 D 是由 y 轴及圆周 x2 ( y1)21所围成的在第一象限内的区域。3设是由球面 z1x2y2与锥面 zx2y2围成的区域，试将三重积分If ( x2y2z2 )dxdydz化为球坐标系下的三次积分。4设曲线积分 L f ( x)ex ydxf ( x)dy 与路径无关，其中 f ( x) 具有一阶连续导数，且 f (0)1 ，求 f ( x) 。5求微分方程 y2 yye x 的通解。三 、 (10分 )y2dzdx
3、zdxdy计 算 曲 面 积 分， 其 中 是 球 面x2y2z24( z0) 的上侧。四、(10 分) 计算三重积分( x y z)dxdydz由 zx2y2与 z 1，其中围成的区域。五、 (10 分) 求 zx2y21在 y1x 下的极值。六、 (10 分) 求有抛物面 z1x2y2与平面 z0 所围立体的表面积。xn 1七、 (10 分) 求幂级数 n 1 n3n 的收敛区间与和函数。高等数学 II试题解答一、填空题（每小题3 分，共计 15 分）zyze xz1设 z f ( x, y) 由方程 xyyze xz 确定，则xyxe xz。2 函 数 u2xy2z3xyz在 点 P0
4、(0, 1,2)沿 方 向 l(4,0,-12)的方向导数最大。3 L 为圆周 x2y24，计算对弧长的曲线积分Lx 2y 2 ds=8。已知曲线 x4t , yt 2 , zt 3上点 P 处的切线平行于平面x 2yz 2，则(1 , 1 ,1)点 P 的坐标为 ( 1,1, 1) 或3 927。5 设 f ( x) 是 周 期 为2 的 周 期 函 数 ， 它 在 区 间 ( 1, 1 的 定 义 为f ( x)2 1 x 03x 0 x 1 ，则 f (x) 的傅里叶级数在 x 1 收敛于 2 。二、解答下列各题（每小题7 分，共 35 分）f ( x, y)I1dx2xf (x, y)
5、 dy6设011 x2连续，交换二次积分的积分顺序。I1dx2xx2 f (x, y)dy01111 ( y1)2f ( x, y)dx22y解：dydyf ( x, y)dx0010x2y2 dxdy1所7计算二重积分 D，其中 D 是由 y 轴及圆周 x2 ( y 1)2围成的在第一象限内的区域。r 2dr16x2y2 dxdy2 d2sin解： D0098设是由球面 z1x2y2与锥面 zx2y2围成的区域，试将三重If ( x2y2z2 )dxdydz积分化为球坐标系下的三次积分。解：If x2y2z2 dxdydz241r 2 r 2 sind dfdr0009设曲线积分 L f (
6、 x)ex ydxf ( x)dy 与路径无关，其中 f ( x) 具有一阶连续导数，且 f(0) 1 ，求 f ( x) 。解： P f (x)ex y ，Qf ( x) 。由 L f ( x) ex ydxf ( x)dy 与路径无关，得 QxPy ， 即 f ( x)f ( x) ex0 。 解 微 分 方 程 yy ex， 得 其 通 解y ce x1 ex。又 f (0)c1。故f ( x)1 e x1 ex21 ，得22210 求微分方程 y2 yye x 的通解。解： y2 yy0 的通解为 y(c1c2 x)ex 。设原方程的一个特解 y*ce x ，代入原方程，得 c14。其通解为y ( c1 c2 x)ex1 e x4三 、 (10分 )y 2dzdx zdxdy计 算 曲 面 积 分， 其 中 是 球 面x2y2z24( z0) 的上侧。解：补上1 : z0( x2y24) 下侧。y 2 dzdx zdxdyy2dzdx zdxdyy2dzdxzdxdy.2分11(2 y1)dxdydz0.3 分2 ydxdydzdxdydz对称性0 1616.3 分33四、(10分) 计算三重积分( x yz)dxdydz由 zx2y2与 z 1，其中围成的区域。解：( xyz)dxdydzxdxdydzydxdydzzdx
