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1、 中考数学压轴题大集合(一)一、函数与几何综合的压轴题1.(2004安徽芜湖)如图,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3)(1) 求证:E点在y轴上;(2) 如果有一抛物线经过A,E,C三点,求此抛物线方程.(3) 如果AB位置不变,再将DC水平向右移动k(k0)个单位,此时AD与BC相交于E点,如图,求AEC的面积S关于k的函数解析式.图C(1+k,-3)A(2,-6)BDOxEyC(1,-3)A(2,-6)BDOxEy图 解 (1)(本小题介绍二种方法,供参考)方法一:过E作EOx轴,垂足OABEODC又DO
2、+BO=DBAB=6,DC=3,EO=2又,DO=DO,即O与O重合,E在y轴上方法二:由D(1,0),A(-2,-6),得DA直线方程:y=2x-2再由B(-2,0),C(1,-3),得BC直线方程:y=-x-2 联立得E点坐标(0,-2),即E点在y轴上(2)设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a0)过A(-2,-6),C(1,-3)E(0,-2)三点,得方程组解得a=-1,b=0,c=-2抛物线方程y=-x2-2(3)(本小题给出三种方法,供参考)由(1)当DC水平向右平移k后,过AD与BC的交点E作EFx轴垂足为F。同(1)可得: 得:EF=2方法一:又EFAB,SAEC= SADC-
3、 SEDC=DB=3+kS=3+k为所求函数解析式方法二: BADC,SBCA=SBDASAEC= SBDES=3+k为所求函数解析式.证法三:SDECSAEC=DEAE=DCAB=12同理:SDECSDEB=12,又SDECSABE=DC2AB2=14S=3+k为所求函数解析式.2. (2004广东茂名)已知:如图,在直线坐标系中,以点M(1,0)为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.(1)求点A的坐标; (2)设过点A的直线yxb与x轴交于点B.探究:直线AB是否M的切线?并对你的结论加以证明; (3)连接BC,记ABC的外接圆面积为S1、M面积为S2,若,抛物线yax2bxc经过B
4、、M两点,且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式. 解(1)解:由已知AM,OM1, 在RtAOM中,AO, 点A的坐标为A(0,1)(2)证:直线yxb过点A(0,1)10b即b1yx1令y0则x1B(1,0),AB在ABM中,AB,AM,BM2 ABM是直角三角形,BAM90直线AB是M的切线(3)解法一:由得BAC90,AB,AC2, BC BAC90ABC的外接圆的直径为BC,ABCDxMy 而,设经过点B(1,0)、M(1,0)的抛物线的解析式为:ya(1)(x1),(a0)即yax2a,a5,a5抛物线的解析式为y5x25或y5x25 解法二:(接上) 求得h5 由已知所求抛
5、物线经过点B(1,0)、M(1、0),则抛物线的对称轴是y轴,由题意得抛物线的顶点坐标为(0,5)抛物线的解析式为ya(x0)25 又B(1,0)、M(1,0)在抛物线上,a50, a5抛物线的解析式为 y5x25或y5x25 解法三:(接上)求得h5因为抛物线的方程为yax2bxc(a0)由已知得抛物线的解析式为 y5x25或y5x25. 3.(2004湖北荆门)如图,在直角坐标系中,以点P(1,1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A、B两点,抛物线过点A、B,且顶点C在P上.(1)求P上劣弧的长;(2)求抛物线的解析式;ABCOxyP(1,1)(3)在抛物线上是否存在一点D,使线段OC与PD
6、互相平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解 (1)如图,连结PB,过P作PMx轴,垂足为M.在RtPMB中,PB=2,PM=1, MPB60,APB120 的长 ABCOxyP(1,1)M(2)在RtPMB中,PB=2,PM=1,则MBMA.又OM=1,A(1,0),B(1,0),由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上,则C(1,3). 点A、B、C在抛物线上,则解之得抛物线解析式为 (3)假设存在点D,使OC与PD互相平分,则四边形OPCD为平行四边形,且PCOD.又PCy轴,点D在y轴上,OD2,即D(0,2). 又点D(0,2)在抛物线上,故存在点D(0,2),使线段O
7、C与PD互相平分. 4.(2004湖北襄樊)如图,在平面直角坐标系内,RtABC的直角顶点C(0,)在轴的正半轴上,A、B是轴上是两点,且OAOB31,以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E,交BC于点F.直线EF交OC于点Q.(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)请猜想:直线EF与两圆有怎样的位置关系?并证明你的猜想.AyxBEFO1QOO2C(3)在AOC中,设点M是AC边上的一个动点,过M作MNAB交OC于点N.试问:在轴上是否存在点P,使得PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.BAEFO1QOO2yx2134NMPC解 (1
8、)在RtABC中,OCAB,AOCCOB.OC2OAOB.OAOB31,C(0,),OB1.OA3.A(-3,0),B(1,0).设抛物线的解析式为则解之,得经过A、B、C三点的抛物线的解析式为(2)EF与O1、O2都相切.证明:连结O1E、OE、OF.ECFAEOBFO90,四边形EOFC为矩形.QEQO.12.34,2+490,EF与O1相切.同理:EF理O2相切.(3)作MPOA于P,设MNa,由题意可得MPMNa. MNOA,CMNCAO.解之,得此时,四边形OPMN是正方形.考虑到四边形PMNO此时为正方形,点P在原点时仍可满足PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.故轴上存在点P
9、使得PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且或5.(2004湖北宜昌)如图,已知点A(0,1)、C(4,3)、E(,),P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的个动点,点D在y轴,抛物线yax2+bx+1以P为顶点(1)说明点A、C、E在一条条直线上;(2)能否判断抛物线yax2+bx+1的开口方向?请说明理由;XOPDCABY(3)设抛物线yax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧),GAO与FAO的面积差为3,且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点这时能确定a、b的值吗?若能,请求出a、b的值;若不能,请确定a、b的取值范围(本题图形仅供分析参考用)解 (1)由题
10、意,A(0,1)、C(4,3)确定的解析式为:y=x+1.将点E的坐标E(,)代入y=x+1中,左边=,右边=+1=,左边=右边,点E在直线y=x+1上,即点A、C、E在一条直线上.(2)解法一:由于动点P在矩形ABCD内部,点P的纵坐标大于点A的纵坐标,而点A与点P都在抛物线上,且P为顶点,这条抛物线有最高点,抛物线的开口向下解法二:抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为,且P在矩形ABCD内部,13,由11得0,a0,抛物线的开口向下. XGFOPDECABY(3)连接GA、FA,SGAOSFAO=3 GOAOFOAO=3 OA=1,GOFO=6. 设F(x1,0)、G(x2,0),
11、则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根,且x1x2,又a0,x1x2=0,x10x2,GO= x2,FO= x1,x2(x1)=6,即x2+x1=6,x2+x1= =6,b= 6a, 由方程组y=ax26ax+1y=x+1得:ax2(6a+)x=0抛物线解析式为:y=ax26ax+1, 其顶点P的坐标为(3,19a), 顶点P在矩形ABCD内部, 119a3, a0. x=0或x=6+.当x=0时,即抛物线与线段AE交于点A,而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点,则有:06+,解得:a综合得:a b= 6a,b0xy6.(2004湖南长沙)已知两点O(0,0)、B(0,2),A过点B
12、且与x轴分别相交于点O、C,A被y轴分成段两圆弧,其弧长之比为31,直线l与A切于点O,抛物线的顶点在直线l上运动.(1)求A的半径;(2)若抛物线经过O、C两点,求抛物线的解析式;(3)过l上一点P的直线与A交于C、E两点,且PCCE,求点E的坐标;(4)若抛物线与x轴分别相交于C、F两点,其顶点P的横坐标为m,求PEC的面积关于m的函数解析式.解 (1)由弧长之比为31,可得BAO90 再由ABAOr,且OB2,得r(2)A的切线l过原点,可设l为ykx任取l上一点(b,kb),由l与y轴夹角为45可得:bkb或bkb,得k1或k1,直线l的解析式为yx或yx 又由r,易得C(2,0)或C(2,0) 由此可设抛物线解析式为yax(x2)或yax(x2)再把顶点坐标代入l的解析式中得a1抛物线为yx22x或yx22x6分(3)当l的解析式为yx时,由P在l上,可设P(m,m)(m0)过P作PPx轴于P,OP|m|,PP|m|,OP2m2,又由切割线定理可得:OP2PCPE,且PCCE,得PCPEmPP7分C与P为同一点,即PEx轴于C,m2,E(2,2)8分同理,当l的解析式为yx时,m2,E(2,2) (4)若C(2,0),此时l为yx,P与点O、点C不重合,m0且m2,当m0时,FC2(2