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1、用三角换元法求两类无理函数的值域缪 选 民江苏泰州海陵区教育局教研室 225300文1、2、3就“型和型两类特殊无理函数的值域问题作了探讨。1和2是从向量这一角度展开讨论的，3那么从线性规划的角度作了探索，本文将从三角换元法的角度来讨论文1、2、3中所提到的无理函数的值域。现借用文3中的例子来说明如何将这两类无理函数的值域问题转化为三角函数的值域问题。例1求函数的值域。解：的取值范围是，令，那么= = ， ，从而，所求值域是。例2求函数的值域。解：由于，所以不妨令，那么 = = ， ， ，从而，所求值域为。一般地，在的条件下，可以考虑三角换元法，其中，限定的范围是为了保证与一一对应和方便化简。
2、例3求的值域。解：的取值范围是 ，令，那么= = ， ， ， ，即 ，所求的值域是 。由此可以看出，上述无理函数一旦换元成为三角函数后，很容易求得其最大值和最小值，无须特殊技巧。不仅如此，这种方法还可突破文1、2、3中所提到的两类无理函数的限制，让我们来看下面的例子：例4求函数的值域。解：，令 ， ，那么 ， ， ，即所求的值域是 。例5求函数的值域。解：函数的定义域为 ，令 ， ，那么 ，再作三角万能代换得： = ，由 得 ， ，故 ，当，即时取等号，此时，的值域是 。参考文献 1 武增明 用解两类无理函数最值 数学教学2006.112 胡云浩 再谈两类无理函数的最值问题 数学教学2007.53 田彦武 解两类无理函数最值问题的新视角 数学教学 2007.6作 者 信 息作者单位与通讯地址 江苏省泰州市海陵区教育局教研室作者姓名 缪选民 E-mail tzhlmxmmxm126
