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1、2012-2013 (1)专业课程实践论文牛顿插值公式王霄，0818180103, R 数学 08-1 班一、算法理论插值法利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函 数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数 f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中 甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式 也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出 了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式:f (x) = f (x
2、 ) + f L , x Xx - x )+ f L , x , x Xx - x )(x - x )+ 00 1 f 01、2,、01.+ f Lx，x Ax x 丿vx x )+ Rn(x丿0n0n1牛顿(Newton)插值法：若求T和T之间任一点T，插值公式为:ii+1T = f (x ) + f L ,x Xx x )+ f L ,x ,x Xx x )(x x 丿+ f L，,x Xx x 丿(x x丿00 100 1 2010n0n1式中，f lx , x ， f L , x , x ，f L , x,x 是函数f (x)的1到第n 1阶差商。0 10 1 20 1n1f L 1
3、f (x)- f (x)f Lx , x=0101 x x0 1f L x x X-f L0x-f x2X0 1 2x x0 2 fL ,x,.,x,x,.,x f Lx , x , x 01n-20 1n-10 1 nx x0n-1可以看出，每一阶的差商都可以从它的前一阶差商推出。按照此特点，选定牛顿 插值的阶数34，然后计算各阶差商，按照插值公式计算插值点的值。、算法框图三、算法程序#include#define MAX 20typedef struct TPOINT double x;double y; POINT;int main() int n,i,j;POINT pointsMAX
4、 +1;double diffMAX +1;double x,t mp,new ton=0;printf(n输入已知项项数n:);/nT为插值次数 scanf(%d，&n);prin tf(输入各已知项的值：(x_i,y_i)n)； for(i=0;in;i+)scanf(%lf%lf ，& poi nt si.x，& poi nt si.y);printf(输入所要求解的x值:)； scanf(%lf ，& x);for(i=0;in;i+)diffi=poi nt si.y;for(i=0;ii;j-)diffj = (diffjdiffjl)/(poin tsj.xpoin tsjli.
5、x); tmp=1;newton二diff0;for(i=0;in;i+) tmp二tmp*( xpoi nt si.x);newton二newton+tmp*diffi+1;pri ntf( f(%f)=%fn,x,new ton);return 0;四、算法实现例1已知函数如下表:x10111213In x2.32062.39792.48492.5649求解Lnll.75的值。解：运行程序(1)显示出输入已知项数n : 4,回车。 显示出 输入各已知项的值：10,2.3026，回车,11, 2.3979，回车,12, 2.4849，回车,13, 2.5649，回车。(3)显示出输入所要求解
6、的x值：11.75。(3)显示结果 f = 2.463857。例2已知函数如下表:x0.400.550.650.800.901.05f C )0.410750.578150.696750.888111.026521.25382求f (0.596)的值。解：运行程序(1)显示出输入已知项数n : 6,回车。 显示出 输入各已知项的值：0.40,0.41075,回车,0.55, 0.57815,回车，0.65, 0.69675,回车,0.80, 0.88811, 回车，0.90, 1.02652,回车，1.05, 1.25382,回车。(3)显示出 输入所要求解的x值：0.596。(3)显示结果 f = 0.631917 。
