《中考数学二轮重难点复习讲义专题66 反比例函数中的动点最值问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义专题66 反比例函数中的动点最值问题（解析版）（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 例题精讲【例1】如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为_解：当x0时，y0+44，点B的坐标为（0，4）；当y0时，x+40，解得：x6，点A的坐标为（6，0）点C、D分别为线段AB、OB的中点，点C的坐标为（3，2），点D坐标为（0，2）作点C关于x轴的对称点C，连接CD交x轴于点P，此时PC+PD的值最小，如图所示点C的坐标为（3，2），点C的坐标为（3，2）设直线CD的解析式为ykx+b（k0），将C（3，2），D（0，2）代入ykx+b得：，解得：，直线CD的解析式为yx+2当y0时，x+20，
2、解得：x，点P的坐标为（，0），即点P的坐标为（1.5，0）变式训练【变1-1】如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y（x0）上的一个动点，PBy轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A逐渐增大B不变C逐渐减小D先增大后减小解：设点P的坐标为（x，），PBy轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，四边形OAPB是个直角梯形，四边形OAPB的面积（PB+AO）BO（x+AO）+，AO是定值，四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小故选：C【变1-2】如图，一次函数y2x与反比例函数y（k0）的图
3、象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是 解：方法一、联立，A（），B（），A与B关于原点O对称，O是线段AB的中点，N是线段AM的中点，连接BM，则ONBM，且ON，ON的最大值为，BM的最大值为3，M在C上运动，当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BCBMCM2，（，k0或，k0，方法二、设点B（a，2a），一次函数y2x与反比例函数y（k0）的图象交于A，B两点，A与B关于原点O对称，O是线段AB的中点，N是线段AM的中点，连接BM，则ONBM，且ON，ON的最大值为，BM的最大值为3，M在C上运动，当B，C，M三点
4、共线时，BM最大，此时BCBMCM2，2，a1或a20（不合题意舍去），点B（，），k，故答案为：【例2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（x0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点OMN的面积为10若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是2解：正方形OABC的边长是6，点M的横坐标和点N的纵坐标为6，M（6，），N（，6），BN6，BM6，OMN的面积为10，6666（6）210，k24，M（6，4），N（4，6），作M关于x轴的对称点M，连接NM交x轴于P，则NM的长PM+PN的最小值，AMAM4，BM10，BN2，NM2，故答案为2变式训练【变2-
5、1】已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（1，0），动点P在反比例函数y的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）解：如图，设直线AB的解析式为ykx+b，将A（0，1）、B（1，0）代入，得：，解得：，直线AB的解析式为yx+1，直线AB与双曲线y的交点即为所求点P，此时|PAPB|AB，即线段PA与线段PB之差的绝对值取得最大值，由可得或，点P的坐标为（1，2）或（2，1），故答案为：（1，2）或（2，1）【变2-2】如图，一次函数y1mx+n（m0）的图象与双曲线y2（k0）相交于A（1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴
6、交于点D（1）求双曲线的解析式；（2）经研究发现：在y轴负半轴上存在若干个点P，使得CPB为等腰三角形请直接写出P点所有可能的坐标解：（1）点A（1，2）在双曲线y2（k0）上，k122，反比例函数解析式为y2，（2）点B在双曲线y2上，2b2，b1，B（2，1），将点A（1，2），B（2，1）代入一次函数y1mx+n（m0）中，得，一次函数的解析式为yx+1；令x0，则y1，C（0，1），设P（0，p）（p0），B（2，1），BC2，BP，CP1p，CPB为等腰三角形，当BCBP时，2，p1（舍）或p3，P（0，3），当BCCP时，21p，p12，P（0，12），当BPCP时，1p，p1，P
7、（0，1），故满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，12）或（0，1） 1如图，点N是反比例函数y（x0）图象上的一个动点，过点N作MNx轴，交直线y2x+4于点M，则OMN面积的最小值是（）A1B2C3D4解：设点N的坐标为（，m），则点M的坐标为（2m，m）（m0），MN（2m）m+2，SOMNMNmm2m+3（m2）2+2，当m2时，OMN面积最小，最小值为2故选：B2如图，在ABC中，ABACa，BAC18，动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持PAQ99设BPx，CQy，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）ABCD解：ABACa，BAC18，ABCACB（18018）
8、81，ABCAPB+PAB81，PAQ99，BAC18，PAB+QAC991881，APBQAC，同理可得PABAQC，APBQAC，即，整理得，y，x、y都是边的长度，是正数，y与x之间的函数关系用图象表示是反比例函数在第一象限内的部分，纵观各选项，只有A符合故选：A3如图，已知A、B是反比例函数y（k0，x0）图象上的两点，BCx轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿OABC匀速运动，终点为C，过点P作PMx轴，PNy轴，垂足分别为M、N设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）ABCD解：点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积SK，保持不变
9、，故排除B、D；点P在BC上运动时，设路线OABC的总路程为l，点P的速度为a，则SOCCPOC（lat），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系故排除C故选：A4已知点A是双曲线y在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边ABC随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但始终在一个函数的图象上运动，则这个函数的表达式为 y解：设A（a，），点A与点B关于原点对称，OAOB，ABC为等边三角形，ABOC，OCAO，AO，CO，过点C作CDx轴于点D，则可得AODOCD（都是COD的余角），设点C的坐标为（x，y），则tanAODtanOCD，即，解得：ya
10、2x，在RtCOD中，CD2+OD2OC2，即y2+x23a2+，将ya2x代入，（a4+1）x23可得：x2，故x，ya2xa，则xy3，故可得：y（x0）故答案为：y（x0）5如图，点P是双曲线C：y（x0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：yx2于点Q，连接OP，OQ当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，POQ面积的最大值是3解：PQx轴，设P（x，），则Q（x，x2），PQx+2，SPOQ（+2）x（x2）2+3，0，POQ面积有最大值，最大值是3，故答案为36如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90得到线段AC，反比例
11、函数y（k0，x0）的图象经过点C已知点P是反比例函数y（k0，x0）图象上的一个动点，则点P到直线AB距离最短时的坐标为（，）解：（1）设直线AB的解析式为yax+b，将点A（1，0），点B（0，2）代入得，解得，直线AB为y2x+2；过点C作CDx轴，线段AB绕点A顺时针旋转90得到线段AC，ABOCAD（AAS），ADOB2，CDOA1，C（3，1），k3，y；设与AB平行的直线y2x+h，联立2x+h，2x2+hx30，当h2240时，h2或2（舍弃），此时点P到直线AB距离最短，解方程2x2+2x30得x，P（，），故答案为P（，）7如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y（
12、k0）的图象上运动，且始终保持线段AB4的长度不变M为线段AB的中点，连接OM则线段OM长度的最小值是（用含k的代数式表示）解：如图，因为反比例函数关于直线yx对称，观察图象可知：当线段AB与直线yx垂直时，垂足为M，此时AMBM，OM的值最小，M为线段AB的中点，OAOB，点A，B在反比例函数y（k0）的图象上，点A与点B关于直线yx对称，AB4，可以假设A（m，），则B（m+4，4），（m+4）（4）k，整理得km2+4m，A（m，m+4），B（m+4，m），M（m+2，m+2），OM，OM的最小值为故答案为8如图，点A是反比例函数y在第一象限的图象上的一点，过点A作ABy轴于点B连接AO，以点A为圆心，分别以AB，AO为半径作直角扇形BAC和OAD，并连接CD，则阴影部分面积的最小值是2+2解：如图，过点D作DE垂直于CA的延长线于点E，则AED90，由题意可知，ABAC，AOAD，BACDAO90，ABy轴，ABO90，BAO+OAE90，DAE+OAE90，BAODAE，BAOEAD（AAS），DEOB点A是反比例函数y在第一象限的图象上的一点，OBAB4，
