《中考数学二轮重难点复习讲义模型25 圆综合之中点弧模型（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型25 圆综合之中点弧模型（解析版）（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍【以下五个条件知一推四】 点C是的中点 ACBC OCAB PC平分APB (即)【模型解读】类型一 中点弧与相似点P是优弧AB上一动点，则12，PCB为公共角，子母型相似 【补充】PEPCPAPB类型二 中点弧与旋转【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是的中点邻边相等+对角互补 旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系. 由于对角互补，即，显然共线，且，通过导角不难得出相似.类型三 中点弧+内心可得等腰【模型讲解】外接圆+内心得等腰如图，圆O是ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DIDCBD 【简证】145,43，25 123类型四 弧中
2、点与垂径定理【模型解读】 知1推5 AD平分CAB D是的中点 DOCB例题精讲考点一： 中点弧与相似三角形的综合【例1】如图，A、B、C、D是O上的四个点，ABAC，AD交BC于点E，AE3，ED4，则AB的长为_解：ABAC，ACBABCD，BADBAD，ABDAEB，AB23721，AB变式训练【变式1-1】如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC、BD交于点P，且ABAD，若AC7，AB3，则BCCD40解：ABAD3，ADPACD，DAPCAD，ADPACD，AP，PCACPA7，CBPCAD，BCPACD，CBPCAD，BCCDCACP740故答案为：40【变式1-2】如图，四边形
3、ABCD内接于O，AB为直径，ADCD，过点D作DEAB于点E，连接AC交DE于点F若sinCAB，DF5，则BC的长为_解：连接BD，如图，AB为直径，ADBACB90，ADCD，DACDCA，而DCAABD，DACABD，DEAB，ABD+BDE90，而ADE+BDE90，ABDADE，ADEDAC，FDFA5，在RtAEF中，sinCAB，EF3，AE4，DE5+38，ADEDBE，AEDBED，ADEDBE，DE：BEAE：DE，即8：BE4：8，BE16，AB4+1620，在RtABC中，sinCAB，BC2012考点二 中点弧与旋转的综合【例2】.在的内接四边形中，点为弧的中点，则
4、的长是 解：如图，过作于，于，则，点为弧的中点，、四点共圆，在和中，在和中，设，解得：，即，故答案为变式训练【变式2-1】如图，已知是的弦，点是弧的中点，是弦上一动点，且不与、重合，的延长线交于点，连接、，过点作，垂足为，（1）求证：是的切线；（2）若，求的长；（3）当点在弦上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值 （1）证明：如图，连接，交于，是等边三角形，点是弧的中点，是的切线；（2）解：，；（3）结论：，的值不变理由：如图，连接，交于，作交的延长线于，由（1）得，的值不变考点三：中点弧+内心可得等腰三角形【例3】如图，已知O是ABC的外接圆，点I是AB
5、C的内心，延长AI交BC于点E，交O于点D，连接BD、DC、BI求证：DBDCDI证明：点I是ABC的内心，BADDAC，ABIIBC，O是ABC的外接圆，BADDAC，BDCD，CADCBD，DBIIBC+CBD，BIDABI+BAI，DBIBID，DBDI，DBDCDI变式训练【变式3-1】如图，点I是ABC的内心，BI的延长线与ABC的外接圆O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，ADF的平分线交AF于点G（1）求证：DGCA；（2）求证：ADID；（3）若DE4，BE5，求BI的长（1）证明：点I是ABC的内心，27，DG平分ADF，1ADF，ADFABC，12，32，1
6、3，DGAC；（2）证明：点I是ABC的内心，56，47+53+6，即4DAI，DADI；（3）解：37，ADEBDA，DAEDBA，AD：DBDE：DA，即AD：94：AD，AD6，DI6，BIBDDI963【变式3-2】如图1，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，过点C作BCDACB交O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CFAC，连接AF（1）求证：EDEC；（2）求证：AF是O的切线；（3）如图2，若点G是ACD的内心，BCBE25，求BG的长解：（1）ABAC，ABCACB，又ACBBCD，ABCADC，BCDADC，EDEC；（2）如图，连接OA，ABAC，OAB
7、C，CACF，CAFCFA，ACDCAFCFA2CAF，ACBBCD，ACD2ACB，CAFACB，AFBC，OAAF，AF为O的切线；（3）ABECBA，BADBCDACB，ABECBA，AB2BCBE，BCBE25，AB5，如图，连接AG，BAGBADDAG，BGAGACACB，点G为内心，DAGGAC，又BADDAGGACACB，BAGBGA，BGAB5 考点四: 弧中点与垂径定理【例4】如图，为的直径，为圆上的两点，弦，相交于点（1）求证：；（2）若，求的半径（1）证明：，；（2）连接，即，解得，是直径，的半径为变式训练【变式4-1】如图，AB是O的直径，点C为的中点，CF为O的弦，且
8、CFAB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF（1）求证：BFGCDG；（2）若ADBE4，求BF的长（1）证明：C是 中点，AB是O的直径，且CFAB，CDBF，在BFG和CDG中，BFGCDG（AAS）；（2）解：如图，连接OF，设O的半径为r，RtADB中，BD2AB2AD2，即BD2（2r）242，RtOEF中，OF2OE2+EF2，即EF2r2（r4）2，BDCF，BD2CF2（2EF）24EF2，即（2r）2424r2（r4）2，解得：r2（舍）或6，BF2EF2+BE262（64）2+4248，BF4【变式4-2】如图，AB是O的直径，点E为弧AC的中点，AC、B
9、E交于点D，过A的切线交BE的延长线于F（1）求证：ADAF；（2）若，求tanODA的值 解：（1）连接AE，OE交AC于H，AB是直径，AEB90，B+BAE90，AF是O的切线，BAF90，BAE+FAE90，BFAE，点E为弧AC的中点，BCAE，CAEFAE，在ADE和AFE中，ADEAFE（ASA），ADAF；（2），设AO2x，AF3x，AB4x，BF5x，SABFABAFBFAE，AEx，EFx，点E为弧AC的中点，OEAC，AHCH，DAEEAF，AEFAHE90，AEHAFE，AHx，HEx，OHx，HDx，tanODA考点五 弧中点与垂径模型（三等弧模型）【例5】.如图，
10、是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，（1）求证：；（2）若，求的长 证明：（1）是的中点，是的直径，且，在和中，；（2）如图，连接，设的半径为，中，即，中，即，即，解得：（舍或3，； 1如图，在O中AB为直径，C为弧AB的中点，EFAB，连接AC交EF于点D，若已知DF2DE，则CD：AD的值为（）A1：3B1：2C1：2D1：4解：如图，连接CO交EF于H，连接AE，CF，BC，DF2DE，设DEx，DF2x，EF3x，C为弧AB的中点，OCAB，CABCBA45，EFAB，OCEF，CDH45，EHHFx，DHxCH，CDx，EADCFD，ADECDF，ADEFDC，AD2x，CD：AD1：4故选：D2如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是半径ON上的点若O的半径为1，则AP+BP的最小值为（）A2BCD1解：作点A关于MN的对称点A，连接AB，交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA，AA，OB，点A与A关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，AONAON60，PAPA，点B是弧的中点，BON30，AOBAON+BON90，又OAOA1， ABPA+PBPA+PBAB 故选：C3在O的内接四边形ABCD
