《中考数学二轮重难点复习讲义模型25 圆综合之中点弧模型(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型25 圆综合之中点弧模型(解析版)(42页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍【以下五个条件知一推四】 点C是的中点 ACBC OCAB PC平分APB (即)【模型解读】类型一 中点弧与相似点P是优弧AB上一动点,则12,PCB为公共角,子母型相似 【补充】PEPCPAPB类型二 中点弧与旋转【模型解读】点P是优弧AB上一动点,且点C是的中点邻边相等+对角互补 旋转相似模型,一般用来求圆中三条线段之间的数量关系. 由于对角互补,即,显然共线,且,通过导角不难得出相似.类型三 中点弧+内心可得等腰【模型讲解】外接圆+内心得等腰如图,圆O是ABC外接圆圆心,I是三角形ABC的内心,延长AI交圆O于D,证DIDCBD 【简证】145,43,25 123类型四 弧中
2、点与垂径定理【模型解读】 知1推5 AD平分CAB D是的中点 DOCB例题精讲考点一: 中点弧与相似三角形的综合【例1】如图,A、B、C、D是O上的四个点,ABAC,AD交BC于点E,AE3,ED4,则AB的长为_解:ABAC,ACBABCD,BADBAD,ABDAEB,AB23721,AB变式训练【变式1-1】如图,四边形ABCD内接于O,对角线AC、BD交于点P,且ABAD,若AC7,AB3,则BCCD40解:ABAD3,ADPACD,DAPCAD,ADPACD,AP,PCACPA7,CBPCAD,BCPACD,CBPCAD,BCCDCACP740故答案为:40【变式1-2】如图,四边形
3、ABCD内接于O,AB为直径,ADCD,过点D作DEAB于点E,连接AC交DE于点F若sinCAB,DF5,则BC的长为_解:连接BD,如图,AB为直径,ADBACB90,ADCD,DACDCA,而DCAABD,DACABD,DEAB,ABD+BDE90,而ADE+BDE90,ABDADE,ADEDAC,FDFA5,在RtAEF中,sinCAB,EF3,AE4,DE5+38,ADEDBE,AEDBED,ADEDBE,DE:BEAE:DE,即8:BE4:8,BE16,AB4+1620,在RtABC中,sinCAB,BC2012考点二 中点弧与旋转的综合【例2】.在的内接四边形中,点为弧的中点,则
4、的长是 解:如图,过作于,于,则,点为弧的中点,、四点共圆,在和中,在和中,设,解得:,即,故答案为变式训练【变式2-1】如图,已知是的弦,点是弧的中点,是弦上一动点,且不与、重合,的延长线交于点,连接、,过点作,垂足为,(1)求证:是的切线;(2)若,求的长;(3)当点在弦上运动时,的值是否发生变化?如果变化,请写出其变化范围;如果不变,请求出其值 (1)证明:如图,连接,交于,是等边三角形,点是弧的中点,是的切线;(2)解:,;(3)结论:,的值不变理由:如图,连接,交于,作交的延长线于,由(1)得,的值不变考点三:中点弧+内心可得等腰三角形【例3】如图,已知O是ABC的外接圆,点I是AB
5、C的内心,延长AI交BC于点E,交O于点D,连接BD、DC、BI求证:DBDCDI证明:点I是ABC的内心,BADDAC,ABIIBC,O是ABC的外接圆,BADDAC,BDCD,CADCBD,DBIIBC+CBD,BIDABI+BAI,DBIBID,DBDI,DBDCDI变式训练【变式3-1】如图,点I是ABC的内心,BI的延长线与ABC的外接圆O交于点D,与AC交于点E,延长CD、BA相交于点F,ADF的平分线交AF于点G(1)求证:DGCA;(2)求证:ADID;(3)若DE4,BE5,求BI的长(1)证明:点I是ABC的内心,27,DG平分ADF,1ADF,ADFABC,12,32,1
6、3,DGAC;(2)证明:点I是ABC的内心,56,47+53+6,即4DAI,DADI;(3)解:37,ADEBDA,DAEDBA,AD:DBDE:DA,即AD:94:AD,AD6,DI6,BIBDDI963【变式3-2】如图1,在ABC中,ABAC,O是ABC的外接圆,过点C作BCDACB交O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CFAC,连接AF(1)求证:EDEC;(2)求证:AF是O的切线;(3)如图2,若点G是ACD的内心,BCBE25,求BG的长解:(1)ABAC,ABCACB,又ACBBCD,ABCADC,BCDADC,EDEC;(2)如图,连接OA,ABAC,OAB
7、C,CACF,CAFCFA,ACDCAFCFA2CAF,ACBBCD,ACD2ACB,CAFACB,AFBC,OAAF,AF为O的切线;(3)ABECBA,BADBCDACB,ABECBA,AB2BCBE,BCBE25,AB5,如图,连接AG,BAGBADDAG,BGAGACACB,点G为内心,DAGGAC,又BADDAGGACACB,BAGBGA,BGAB5 考点四: 弧中点与垂径定理【例4】如图,为的直径,为圆上的两点,弦,相交于点(1)求证:;(2)若,求的半径(1)证明:,;(2)连接,即,解得,是直径,的半径为变式训练【变式4-1】如图,AB是O的直径,点C为的中点,CF为O的弦,且
8、CFAB,垂足为E,连接BD交CF于点G,连接CD,AD,BF(1)求证:BFGCDG;(2)若ADBE4,求BF的长(1)证明:C是 中点,AB是O的直径,且CFAB,CDBF,在BFG和CDG中,BFGCDG(AAS);(2)解:如图,连接OF,设O的半径为r,RtADB中,BD2AB2AD2,即BD2(2r)242,RtOEF中,OF2OE2+EF2,即EF2r2(r4)2,BDCF,BD2CF2(2EF)24EF2,即(2r)2424r2(r4)2,解得:r2(舍)或6,BF2EF2+BE262(64)2+4248,BF4【变式4-2】如图,AB是O的直径,点E为弧AC的中点,AC、B
9、E交于点D,过A的切线交BE的延长线于F(1)求证:ADAF;(2)若,求tanODA的值 解:(1)连接AE,OE交AC于H,AB是直径,AEB90,B+BAE90,AF是O的切线,BAF90,BAE+FAE90,BFAE,点E为弧AC的中点,BCAE,CAEFAE,在ADE和AFE中,ADEAFE(ASA),ADAF;(2),设AO2x,AF3x,AB4x,BF5x,SABFABAFBFAE,AEx,EFx,点E为弧AC的中点,OEAC,AHCH,DAEEAF,AEFAHE90,AEHAFE,AHx,HEx,OHx,HDx,tanODA考点五 弧中点与垂径模型(三等弧模型)【例5】.如图,
10、是的直径,点为的中点,为的弦,且,垂足为,连接交于点,连接,(1)求证:;(2)若,求的长 证明:(1)是的中点,是的直径,且,在和中,;(2)如图,连接,设的半径为,中,即,中,即,即,解得:(舍或3,; 1如图,在O中AB为直径,C为弧AB的中点,EFAB,连接AC交EF于点D,若已知DF2DE,则CD:AD的值为()A1:3B1:2C1:2D1:4解:如图,连接CO交EF于H,连接AE,CF,BC,DF2DE,设DEx,DF2x,EF3x,C为弧AB的中点,OCAB,CABCBA45,EFAB,OCEF,CDH45,EHHFx,DHxCH,CDx,EADCFD,ADECDF,ADEFDC,AD2x,CD:AD1:4故选:D2如图,已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点,点B是的中点,点P是半径ON上的点若O的半径为1,则AP+BP的最小值为()A2BCD1解:作点A关于MN的对称点A,连接AB,交MN于点P,则PA+PB最小,连接OA,AA,OB,点A与A关于MN对称,点A是半圆上的一个三等分点,AONAON60,PAPA,点B是弧的中点,BON30,AOBAON+BON90,又OAOA1, ABPA+PBPA+PBAB 故选:C3在O的内接四边形ABCD