《中考数学二轮重难点复习讲义模型27 托勒密定理（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型27 托勒密定理（解析版）（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍1.托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和翻译：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则证明：在线段BD上取点E，使得BAE=CAD，易证AEBADC，即，当BAE=CAD时，可得：BAC=EAD，易证ABCAED，即，2.（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，有证明：如图1，在平面中取点E使得BAE=CAD，ABE=ACD，易证ABEACD，即，连接DE，如图2，又BAC=BAE+CAE=DAC+CAE=DAE，ABCAED，即，将+得：，即，当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号3.托勒密定理在中考
2、题中的应用（1）当ABC是等边三角形时，如图1，当点D在弧AC上时，根据托勒密定理有：，又等边ABC有AB=AC=BC， 故有结论：证明：在BD上取点E使得DE=DA，易证AEBADC，AEDABC，利用对应边成比例，可得：如图2，当点D在弧BC上时，结论：DA=DB+DC【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别（2）当ABC是等腰直角三角形，如图3，当点D在弧BC上时，根据托勒密定理：，又，代入可得结论： 如图4，当点 D在弧AC上时，根据托勒密定理：，又，代入可得结论：（3）当ABC是一般三角形时，若记BC：AC：AB=a：b：c，根据托勒密定理可得：例题精讲【例1
3、】如图，正五边形ABCDE内接于O，AB2，则对角线BD的长为 1+解：如图，连接AD、AC五边形ABCDE是正五边形，ABCDCBAED（SAS），设BDACADx在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得：ABCD+ADBCACBD，即22+x2x2，解得：x11+，x21（舍去）对角线BD的长为1+故答案为：1+变式训练【变式1-1】先阅读理解：托勒密（Ptolemy古希腊天文学家）定理指出：圆内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积即：如果四边形ABCD内接于O，则有ABCD+ADBCACBD再请完成：（1）如图1，四边形ABCD内接于O，BC是O的直径，如果ABAC，CD1，
4、求AD的长（2）在（1）的条件下，如图2，设对边BA、CD的延长线的交点为P，求PA、PD的长解：（1）BC是O的直径，BACBDC90，ABAC，ABC是等腰直角三角形，BCAB，BD3，圆内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积，即：如果四边形ABCD内接于O，则有ABCD+ADBCACBD，即1+AD3，解得：AD；（2）PADPCB，PP，PADPCB，设PAx，PDy，则，解得：x，y， PA，PD【变式1-2】如图1，已知O内接四边形ABCD，求证：ACBDABCD+ADBC证明：如图1，在BD上取一点P，连接CP，使PCBDCA，即使12在O中，3与4所对的弧都是，34A
5、CDBCPACBPADBC又21，2+71+7即ACBDCP在O中，5与6所对的弧都是，56ACBDCP（1）任务一：请你将“托勒密定理”的证明过程补充完整；（2）任务二：如图2，已知RtABC内接于O，ACB90，AC6，BC8，CD平分ACB交O于点D，求CD的长解：（1）补全证明：，ACDPABDC，+得：ACBP+ACDPADBC+ABDC，AC（BP+DP）ADBC+ABDC，即ACBDADBC+ABDC，（2）ACB90，AC6，BC8，ADB90，AB10，CD平分ACB交O于点D，BCDACD，BDAD，ADB90，ABD45，BDADABsin455，四边形ABCD内接于O，
6、ABCDACBD+ADBC，即10CD6+85，CD7【例2】托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积已知：如图1，四边形ABCD内接于O求证：ABDC+ADBCACBD证明：如图2，作BAECAD，交BD于点E，ABEACD，ABDCACBE，ABCAED，ADBCACED，ABDC+ADBCACBE+ACEDAC（BE+ED）ACBD（1）请帮这位同学写出已知和求证，并完成证明过程；（2）如图3，已知正五边形ABCDE内接于O，AB1，求对角线BD的长（1）解：已知：如图1，四边形ABCD内接于O，求证：ABDC+ADBCACBD，故答案为：四边形ABCD内接于O，A
7、BDC+ADBCACBD；证明：如图2，作BAECAD，交BD于点E，ABEACD，ABEACD，ABDCACBE，ACBADEBAECAD，BAE+EACCAD+EAC，即BACEAD，ABCAED，ADBCACED，ABDC+ADBCACBE+ACEDAC（BE+ED）ACBD，即ABDC+ADBCACBD；（2）解：在图3中，连接AD、AC五边形ABCDE是正五边形，ABCDCBAED，设BDACADx在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得：ABCD+ADBCACBD，即11+x1x2，解得，（舍去），对角线BD的长为变式训练【变式2-1】已知：如图1，四边形ABCD内接于O求证：A
8、BCD+BCADACBD下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作BAECAD，交BD于点E，ABEACD，ABEACD，ABCDACBE；，ACBADE（依据1），BAECAD，BACEAD，ABCAED（依据2），ADBCACED；ABCD+ADBCAC（BE+ED），即ABCD+BCADACBD（1）上述证明过程中的“依据1”是指同弧所对的圆周角相等；“依据2”是指两角分别相等的两个三角形相似（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们熟知的勾股定理（3）如图3，四边形ABCD内接于O，AB3，AD5，BAD60，点C是的中点，求AC的长解：（1）上述证明过程中的“依据1”是同
9、弧所对的圆周角相等“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似故答案为：同弧所对的圆周角相等；两角分别相等的两个三角形相似（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，则ABCD，ADBC，ACBD，ABCD+ADBCACBD，AB2+AD2BD2，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：勾股定理，故答案为：勾股（3）连接BD，作CEBD于E四边形ABCD是圆内接四边形，BAD+BCD180，BAD60，BCD120，CDCB，CDB30，在RtCDE中，cos30，DECD，BD2DECD，由托勒密定理：ACBDADBC+CDAB，ACCD3CD+5CD，AC，答：AC的长为【变式2-2】圆的内接四边形的
10、两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和即：如图1，若四边形ABCD内接于O，则有 _任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ACBDABCD+BCAD（2）已知，如图2，四边形ABCD内接于O，BD平分ABC，COD120，求证：BDAB+BC解：（1）由托勒密定理可得：ACBDABCD+BCAD故答案为：ACBDABCD+BCAD（2）如图，连接ACCOD120，CBDCAD60BD平分ABCABDCBD60ACD60，ACD是等边三角形ACADCD，四边形ABCD是圆内接四边形ACBDABCD+BCADBDAB+BC 1如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，对
11、角线交于点O，连接AO，如果AB4，AO4，那么AC的长等于（）A12B16C4D8解：在AC上截取CGAB4，连接OG，四边形BCEF是正方形，BAC90，OBOC，BACBOC90，B、A、O、C四点共圆，ABOACO，在BAO和CGO中，BAOCGO（SAS），OAOG4，AOBCOG，BOCCOG+BOG90，AOGAOB+BOG90，即AOG是等腰直角三角形，由勾股定理得：AG8，即ACAG+CG8+412故选：A2如图，在O的内接四边形ABCD中，AB3，AD5，BAD60，点C为弧BD的中点，则AC的长是解：解法一、A、B、C、D四点共圆，BAD60，BCD18060120，BAD60，AC平分BAD，CADCAB30，如图1，将ACD绕点C逆时针旋转120得CBE，则ECAD30，BEAD5，ACCE，ABC+EBC（180CABACB）+（180EBCE）180，A、B、E三点共线，过C作CMAE于M，ACCE，AMEM（5+3）4，在RtAMC中，AC；解法二、过C作CEAB于E，CFAD于F，则ECFDCFA90，点C为弧BD的中点，BACDAC，BCCD，CEAB，CFAD，CECF，A、B、C、D四点共圆，DCBE，在CBE和CDF中CBEC
