《中考数学二轮重难点复习讲义模型24 辅助圆系列最值模型(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型24 辅助圆系列最值模型(解析版)(37页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍R【点睛1】触发隐圆模型的条件(1)动点定长模型 若P为动点,但AB=AC=AP 原理:圆A中,AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆,A圆心,AB半径 备注:常转全等或相似证明出定长(2)直角圆周角模型 固定线段AB所对动角C恒为90 原理:圆O中,圆周角为90所对弦是直径则A、B、C三点共圆,AB为直径 备注:常通过互余转换等证明出动角恒为直角(3)定弦定角模型 固定线段AB所对动角P为定值 原理:弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注:点P在优弧、劣弧上运动皆可(4)四点共圆模型 若动角A+动角C=180 原理:圆内接四边形对角互补则A、B、C、D
2、四点共圆 备注:点A与点C在线段AB异侧(5)四点共圆模型 固定线段AB所对同侧动角P=C 原理:弦AB所对同侧圆周角恒相等则A、B、C、P四点共圆 备注:点P与点C需在线段AB同侧R【点睛2】圆中旋转最值问题 条件:线段AB绕点O旋转一周,点M是线段AB上的一动点,点C是定点(1)求CM最小值与最大值(2)求线段AB扫过的面积(3)求最大值与最小值 作法:如图建立三个同心圆,作OMAB,B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆R结论:CM1最小,CM3最大 线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积最小值以AB为底,CM1为高;最大值以AB为底,CM2为高例题精讲考点一:定点定长构造隐圆【例
3、1】如图,已知ABACAD,CBD2BDC,BAC44,则CAD的度数为 解:ABACAD,B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆上,CAD2CBD,BAC2BDC,CBD2BDC,BAC44,CAD2BAC88故答案为:88变式训练【变式1-1】如图所示,四边形ABCD中,DCAB,BC1,ABACAD2则BD的长为()ABCD解:以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交A于F,连接DFDCAB,DFCB1,BF2+24,FB是A的直径,FDB90,BD故选:B【变式1-2】如图,点A,B的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C为坐标平面内一点,BC2,点M为线段AC的中点,连接OM,OM
4、的最大值为 解:C为坐标平面内一点,BC2,点C的运动轨迹是在半径为2的B上,如图,取ODOA4,连接OD,点M为线段AC的中点,OM是ACD的中位线,OM,OM最大值时,CD取最大值,此时D、B、C三点共线,此时在RtOBD中,BD4,CD2+4,OM的最大值是1+2故答案为:1+2考点二:定弦定角构造隐圆【例2】如图,在ABC中,BC2,点A为动点,在点A运动的过程中始终有BAC45,则ABC面积的最大值为 解:如图,ABC的外接圆O,连接OB、OC,BAC45,BOC2BAC24590,过点O作ODBC,垂足为D,OBOC,BDCDBC1,BOC90,ODBC,ODBC1,OB,BC2保
5、持不变,BC边上的高越大,则ABC的面积越大,当高过圆心时,最大,此时BC边上的高为:+1,ABC的最大面积是:2(+1)+1故答案为:+1变式训练【变式2-1】如图,P是矩形ABCD内一点,AB4,AD2,APBP,则当线段DP最短时,CP 解:以AB为直径作半圆O,连接OD,与半圆O交于点P,当点P与P重合时,DP最短,则AOOPOBAB2,AD2,BAD90,OD2,ADOAODODC45,DPODOP22,过P作PECD于点E,则PEDEDP2,CECDDE+2,CP故答案为:2【变式2-2】如图,边长为4的正方形ABCD外有一点E,AEB90,F为DE的中点,连接CF,则CF的最大值
6、为 解:如图,以AB为直径作圆H,AEB90,点E在这个H上,延长DC至P,使CDPC,连接BE,EH,PH,过H作HMCD于M,EFDF,CDPC,CFPE,RtAEB中,H是AB的中点,EHAB2,RtPHM中,由勾股定理得:PH2,PEEH+PH2+2,当P,E,H三点共线时,PE最大,CF最大,CF的最大值是+1考点三:对角互补构造隐圆【例3】如图,在矩形ABCD中,AB3,BC5,点E在对角线AC上,连接BE,作EFBE,垂足为E,直线EF交线段DC于点F,则_.解:如图,连接BF,取BF的中点O,连接OE,OC四边形ABCD是矩形,EFBE,四边形EFCB对角互补,B,C,F,E四
7、点共圆,BEFBCF90,ABCD3,BCAD5,OBOF,OEOBOFOC,B,C,F,E四点在以O为圆心的圆上,EBFECF,tanEBFtanACD,变式训练【变式3-1】如图,在四边形ABCD中,BADBCD90,ACD30,AD2,E是AC的中点,连接DE,则线段DE长度的最小值为 解:BADBCD90,A、B、C、D四点共圆,且BD为直径,取BD中点O,则圆心为点O,连接AO、CO,取AO中点F,连接EF,DF,ACD30,AOD60,OAOD,OAD为等边三角形,OAODOCAD2,AFD90,则DF,EF是AOC的中位线,EFOC1,在DEF中,DFEFDE,当D、E、F三点共
8、线时,DE取到最小,最小值为DE的最小值为【变式3-2】如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC边上的一动点,点F是CD上一点,且CEDF,AF、DE相交于点O,BOBA,则OC的值为 解:如图四边形ABCD是正方形,ADDC,ADFECDABC90,DFCE,ADFDCE,DAFEDC,EDC+ADO90,DAF+ADO90,AOD90,四边形ABEO对角互补,A、B、E、O四点共圆,取AE的中点K,连接BK、OK,作OMCD于M则KBAKKEOK,BABO,BAOBOAAEBDEC,ABDC,ABEDCE,AEBDEC,ABEDCE,BEEC1,DFECFC1,DE,DFODEC,OD,
9、OF,DOOFDFOM,OM,MF,CM1+,在RtOMC中,OC,故答案为 实战演练1如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(3,0)、(0,4),以点A为圆心,以AB长为半径画弧交x轴上点C,则点C的坐标为() A(5,0)B(2,0)C(8,0)D(2,0)或(8,0)解:点A、B的坐标分别为(3,0)、(0,4),OA3,OB4,AB5,AC5,AC5,C点坐标为(2,0);C点坐标为(8,0)故选:D2如图,在矩形ABCD中,已知AB3,BC4,点P是BC边上一动点(点P不与B,C重合),连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为()A2BC3D解:连接AM
10、,点B和M关于AP对称,ABAM3,M在以A圆心,3为半径的圆上,当A,M,C三点共线时,CM最短,AC,AMAB3,CM532,故选:A3如图,在矩形ABCD中,AB8,BC6,点P在矩形的内部,连接PA,PB,PC,若PBCPAB,则PC的最小值是()A6B3C24D44解:四边形ABCD是矩形,ABC90,ABP+PBC90,PBCPAB,PAB+PBA90,APB90,点P在以AB为直径的圆上运动,设圆心为O,连接OC交O于P,此时PC最小,OC2,PC的最小值为24,故选:C4如图所示,MON45,RtABC,ACB90,BC6,AC8,当A、B分别在射线OM、ON上滑动时,OC的最
11、大值为()A12B14C16D14解:如图,在RtABC中,由勾股定理得AB,在AB的下方作等腰直角AQB,AQB90,作BHQC于H,点O在以点Q为圆心,QB为半径的圆上,AQB+ACB180,点A、C、B、Q共圆,BCQBAQ45,BHCH3,在RtBQH中,由勾股定理得QH4,CQ7,当点C、Q、O共线时,OC最大,OC的最大值为OQ+CQ5+712,故选:A5如图,已知ABACAD,CBD2BDC,BAC44,则CAD的度数为 解:ABACAD,B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆上,CAD2CBD,BAC2BDC,CBD2BDC,BAC44,CAD2BAC88故答案为:886如图示,A,B两点的坐标分别为(2,0),(3,0),点C在y轴上,且ACB45,则点C的坐标为