《中考数学二轮复习压轴题培优专练专题06 几何图形的翻折变换问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮复习压轴题培优专练专题06 几何图形的翻折变换问题（解析版）（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题06 几何图形的翻折变换问题 几何图形中的翻折变换在中考压轴题中考查比例较高，翻折变换本质上是考查轴对称的相关知识知识，在解决有关翻折问题的压轴题时，需要注意三点：（1）掌握轴对称的有关性质：关于直线对称的两个图形是全等图形.如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.（2）掌握折叠图形的性质，例如折叠图形是矩形，那么在解决折叠问题时，就需要结合矩形的性质和轴对称的性质。（3）折叠问题中求解线段的长度，一般要借助勾股定理，列出
2、方程进行求解。（2022贵州贵阳统考中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在中，为边上的高，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得(1)问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_；(2)问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；(3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据折叠的性质即可求得，由三角形内角和定理可得，根据点在边上，当时，取得最小值，最小值为； （3）连接，设， 则，在中，
3、延长交于点，在中，进而根据，即可求解【答案】(1)；(2)；(3)作图见解析，【详解】（1），是等边三角形，四边形是平行四边形，为边上的高，（2），是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，为底边上的高，则点在边上，当时，取得最小值，最小值为；（3）如图，连接，则，设， 则，折叠，在中，延长交于点，如图，在中，本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键（2022黑龙江绥化统考中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰
4、上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题(1)如图一，在等腰中，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：(2)如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，求的长(3)如图三，在四边形中，E为线段上的一点，连接，且，求的长（1）根据题意，利用等面积法，根据等腰中，即可得到结论；（2）根据题中条件，利用折叠性质得到，结合矩形中得到，从而有，从而确定是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；（3）延长交于，连接，过点作于，根据，得到是等腰三角形，从而由（1）知，在中，在中，联立方程求
5、解得，从而得到结论【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【详解】（1）证明：连接，如图所示：在等腰中，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G，由得，；（2）解：连接，过点作于，如图所示：根据折叠可知，在矩形中，则，即是等腰三角形，在等腰中，边上有一点G，过点G作于M，于N，过点作于，由（1）可得，在中，则，在四边形中，则四边形为矩形，即；（3）解：延长交于，连接，过点作于，在四边形中，E为线段上的一点，则，又，即是等腰三角形，由（1）可得，设，在中，在中，解得，经检验，x=1是方程的解用符合题意，即本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理
6、求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键1（2022湖北武汉校考三模）（1）如图，在正方形中，是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，并延长交于点求证：；（2）在（1）的条件下，如图，延长交边于点若，求的值；（3）如图，四边形为矩形，同样沿着折叠，连接，延长分别交于两点，若，则的值为_（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】根据证明三角形全等即可；如图中，连接根据，求出即可解决问题；如图中，连接由，可以设，根据相似三角形的判定和性质可得，则，利用勾股定理构建方程求解即可【详解】证明：如图中，是
7、由折叠得到，四边形是正方形，在和中，；解：如图中，连接，由折叠可知，四边形是正方形，设，则，设，由折叠可知，或舍弃，；解：如图中，连接由，设，由知，由折叠可知， ，或舍弃，2（2022福建宁德统考二模）在中，点E是BC的中点，点F在AD上将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形(1)利用图1，求证：；(2)如图2，连接BD，若，当点落在BD上时，求EF的长；(3)如图3，当点恰好落在线段CD上时，求证：直线与直线CD重合【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析【分析】(1)利用折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线判定定理，也可以运用折叠的性质，构造三角形中位线定理证明（2）设
8、EF与BD相交于点O运用勾股定理，三角函数，中位线定理求解即可(3)运用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，证明即可【详解】(1)解：（1）证法一：由折叠的性质可知：，E是BC的中点，证法二：设EF与相交于点G由折叠的性质可知：G是的中点又E是BC的中点，GE是的中位线 即(2)设EF与BD相交于点O由折叠的性质可知：O是的中点，由（1）得四边形ABCD是平行四边形，若，BDCABD45，在中，由勾股定理得E是BC的中点，O是的中点，四边形ABCD是平行四边形，即(3)证法一：连接交直线EF于点M由折叠知：连接BM并延长交直线CD于点H四边形ABCD是平行四边形，点在CD上，BMHM
9、又E是BC的中点，EM是BCH的中位线，即由（1）得过点C有且只有一条直线与EF平行，点在直线CD上直线与直线CD重合证法二：连接并延长交直线AB于点K，连接AE四边形ABCD是平行四边形，点在CD上，BECE，由折叠知：，过点有且只有一条直线与AB平行，直线与直线重合即直线与直线CD重合3（2022山东淄博统考二模）在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将BDE沿DE折叠，点B的对应点为F(1)如图1，若，请直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；(2)如图2，若，垂足为点G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF判断四边形ADFC的形状，并说明理由；(3)若，直接写出
10、的度数【答案】(1)(2)菱形，理由见解析(3)45或135【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CD=；（2）由题意可得，由“直角三角形中含30角所对的直角边等于斜边的一半”，得据此判断四边形ADFC是平行四边形，再由折叠得DF=BD=AD，据此解答；（3）分两种情况讨论，点F与点D在直线CE的同侧或异侧，正确画出图形即可解答【详解】（1）解：由图1，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线， CD=；（2）四边形ADFC是菱形理由如下：CD是斜边AB上的中线，由折叠的性质可得，四边形ADFC是平行四边形，又，ADFC是菱形（3）如图3，点F与点D在直线CE的异侧，由折叠
11、得，；如图4，点F与点D在直线CE的同侧，由折叠得，综上所述，或4（2022四川乐山统考一模）模型探究：如图1，D、E、F分别为三边BC、AB、AC上的点，且（1）与相似吗？请说明理由；模型应用：为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且（2）如图2，当点D在线段BC上时，求的值；（3）如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求与的周长之比【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）与的周长之比为【分析】（1）根据三角形的内角和得到，即可证明；（2）设，根据等边三角形的性质与折叠可知，根据三角形的内角和定理得，即可证明，故，再根
12、据比例关系求出的值；同理可证，得，得，再得到，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1），理由：，在中，；（2）设，是等边三角形，由折叠知，在中，；设，是等边三角形， ，由折叠知，在中，与的周长之比为.5（2022江苏徐州统考二模）正方形的边长为4(1)将正方形对折，折痕为，如图把这个正方形展平，再将点折到折痕上的点的位置，折痕为，求的长；(2)如图当时，在点由点移动到中点的过程中，求面积的取值范围【答案】(1)；(2)【分析】（1）连接根据轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定定理和性质求出CBM，根据正方形的性质，直角三角形的边角关系即可求出PF（2）连接AC交EF于点O，连接OB，OD，OG，再以O为圆心，以OA为半径画圆，取AD的中点为K，连接KO并延长交于J根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质确定G，A，B，C，D共圆，然后确定点G在上运动，进而确定当点G与点C或点B重合时，ADG面积取得最小值，当点G与点J重合时，ADG面积取得最大值，最后根据正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形面积公式求解即可【详解】（1）解：如下图所示，连接正方形ABCD对折后，折痕为EF，正方形ABCD的边长为4，EF垂直平分BC，BC=4NB=NC，BF=2正方形折叠后点C到点N的位置，NB=BC，N
