《中考数学二轮复习压轴题培优专练专题06 几何图形的翻折变换问题(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学二轮复习压轴题培优专练专题06 几何图形的翻折变换问题(解析版)(26页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题06 几何图形的翻折变换问题 几何图形中的翻折变换在中考压轴题中考查比例较高,翻折变换本质上是考查轴对称的相关知识知识,在解决有关翻折问题的压轴题时,需要注意三点:(1)掌握轴对称的有关性质:关于直线对称的两个图形是全等图形.如果两个图形关于某直线对称,对称轴是对应点连线的垂直平分线.两个图形关于某直线对称,如果它们对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.(2)掌握折叠图形的性质,例如折叠图形是矩形,那么在解决折叠问题时,就需要结合矩形的性质和轴对称的性质。(3)折叠问题中求解线段的长度,一般要借助勾股定理,列出
2、方程进行求解。(2022贵州贵阳统考中考真题)小红根据学习轴对称的经验,对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图,在中,为边上的高,点在边上,且,点是线段上任意一点,连接,将沿翻折得(1)问题解决:如图,当,将沿翻折后,使点与点重合,则_;(2)问题探究:如图,当,将沿翻折后,使,求的度数,并求出此时的最小值;(3)拓展延伸:当,将沿翻折后,若,且,根据题意在备用图中画出图形,并求出的值(1)根据等边三角形的性质,平行四边形的性质可得,根据特殊角的三角函数值即可求解;(2)根据折叠的性质即可求得,由三角形内角和定理可得,根据点在边上,当时,取得最小值,最小值为; (3)连接,设, 则,在中,
3、延长交于点,在中,进而根据,即可求解【答案】(1);(2);(3)作图见解析,【详解】(1),是等边三角形,四边形是平行四边形,为边上的高,(2),是等腰直角三角形,是等腰直角三角形,为底边上的高,则点在边上,当时,取得最小值,最小值为;(3)如图,连接,则,设, 则,折叠,在中,延长交于点,如图,在中,本题考查了轴对称的性质,特殊角的三角函数值,解直角三角形,勾股定理,三角形内角和定理,含30度角的直角三角形的性质,平行四边形的性质,等边三角形的性质,综合运用以上知识是解题的关键(2022黑龙江绥化统考中考真题)我们可以通过面积运算的方法,得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰
4、上的高之间的数量关系,并利用这个关系解决相关问题(1)如图一,在等腰中,边上有一点D,过点D作于E,于F,过点C作于G.利用面积证明:(2)如图二,将矩形沿着折叠,使点A与点C重合,点B落在处,点G为折痕上一点,过点G作于M,于N.若,求的长(3)如图三,在四边形中,E为线段上的一点,连接,且,求的长(1)根据题意,利用等面积法,根据等腰中,即可得到结论;(2)根据题中条件,利用折叠性质得到,结合矩形中得到,从而有,从而确定是等腰三角形,从而利用(1)中的结论得到,结合勾股定理及矩形性质即可得到结论;(3)延长交于,连接,过点作于,根据,得到是等腰三角形,从而由(1)知,在中,在中,联立方程求
5、解得,从而得到结论【答案】(1)证明见解析;(2);(3)【详解】(1)证明:连接,如图所示:在等腰中,边上有一点D,过点D作于E,于F,过点C作于G,由得,;(2)解:连接,过点作于,如图所示:根据折叠可知,在矩形中,则,即是等腰三角形,在等腰中,边上有一点G,过点G作于M,于N,过点作于,由(1)可得,在中,则,在四边形中,则四边形为矩形,即;(3)解:延长交于,连接,过点作于,在四边形中,E为线段上的一点,则,又,即是等腰三角形,由(1)可得,设,在中,在中,解得,经检验,x=1是方程的解用符合题意,即本题考查几何综合,涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理
6、求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点,读懂题意,掌握(1)中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键1(2022湖北武汉校考三模)(1)如图,在正方形中,是上一动点,将正方形沿着折叠,点落在点处,连接,并延长交于点求证:;(2)在(1)的条件下,如图,延长交边于点若,求的值;(3)如图,四边形为矩形,同样沿着折叠,连接,延长分别交于两点,若,则的值为_(直接写出结果)【答案】(1)见解析;(2);(3)【分析】根据证明三角形全等即可;如图中,连接根据,求出即可解决问题;如图中,连接由,可以设,根据相似三角形的判定和性质可得,则,利用勾股定理构建方程求解即可【详解】证明:如图中,是
7、由折叠得到,四边形是正方形,在和中,;解:如图中,连接,由折叠可知,四边形是正方形,设,则,设,由折叠可知,或舍弃,;解:如图中,连接由,设,由知,由折叠可知, ,或舍弃,2(2022福建宁德统考二模)在中,点E是BC的中点,点F在AD上将四边形ABEF沿EF折叠,得到四边形(1)利用图1,求证:;(2)如图2,连接BD,若,当点落在BD上时,求EF的长;(3)如图3,当点恰好落在线段CD上时,求证:直线与直线CD重合【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析【分析】(1)利用折叠的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,平行线判定定理,也可以运用折叠的性质,构造三角形中位线定理证明(2)设
8、EF与BD相交于点O运用勾股定理,三角函数,中位线定理求解即可(3)运用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,证明即可【详解】(1)解:(1)证法一:由折叠的性质可知:,E是BC的中点,证法二:设EF与相交于点G由折叠的性质可知:G是的中点又E是BC的中点,GE是的中位线 即(2)设EF与BD相交于点O由折叠的性质可知:O是的中点,由(1)得四边形ABCD是平行四边形,若,BDCABD45,在中,由勾股定理得E是BC的中点,O是的中点,四边形ABCD是平行四边形,即(3)证法一:连接交直线EF于点M由折叠知:连接BM并延长交直线CD于点H四边形ABCD是平行四边形,点在CD上,BMHM
9、又E是BC的中点,EM是BCH的中位线,即由(1)得过点C有且只有一条直线与EF平行,点在直线CD上直线与直线CD重合证法二:连接并延长交直线AB于点K,连接AE四边形ABCD是平行四边形,点在CD上,BECE,由折叠知:,过点有且只有一条直线与AB平行,直线与直线重合即直线与直线CD重合3(2022山东淄博统考二模)在RtABC中,CD是斜边AB上的中线,点E为射线BC上一点,将BDE沿DE折叠,点B的对应点为F(1)如图1,若,请直接写出CD的长(用含a的代数式表示);(2)如图2,若,垂足为点G,点F与点D在直线CE的异侧,连接CF判断四边形ADFC的形状,并说明理由;(3)若,直接写出
10、的度数【答案】(1)(2)菱形,理由见解析(3)45或135【分析】(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CD=;(2)由题意可得,由“直角三角形中含30角所对的直角边等于斜边的一半”,得据此判断四边形ADFC是平行四边形,再由折叠得DF=BD=AD,据此解答;(3)分两种情况讨论,点F与点D在直线CE的同侧或异侧,正确画出图形即可解答【详解】(1)解:由图1,在RtABC中,CD是斜边AB上的中线, CD=;(2)四边形ADFC是菱形理由如下:CD是斜边AB上的中线,由折叠的性质可得,四边形ADFC是平行四边形,又,ADFC是菱形(3)如图3,点F与点D在直线CE的异侧,由折叠
11、得,;如图4,点F与点D在直线CE的同侧,由折叠得,综上所述,或4(2022四川乐山统考一模)模型探究:如图1,D、E、F分别为三边BC、AB、AC上的点,且(1)与相似吗?请说明理由;模型应用:为等边三角形,其边长为8,E为AB边上一点,F为射线AC上一点,将沿EF翻折,使A点落在射线CB上的点D处,且(2)如图2,当点D在线段BC上时,求的值;(3)如图3,当点D落在线段CB的延长线上时,求与的周长之比【答案】(1),证明见解析;(2);(3)与的周长之比为【分析】(1)根据三角形的内角和得到,即可证明;(2)设,根据等边三角形的性质与折叠可知,根据三角形的内角和定理得,即可证明,故,再根
12、据比例关系求出的值;同理可证,得,得,再得到,再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解(1),理由:,在中,;(2)设,是等边三角形,由折叠知,在中,;设,是等边三角形, ,由折叠知,在中,与的周长之比为.5(2022江苏徐州统考二模)正方形的边长为4(1)将正方形对折,折痕为,如图把这个正方形展平,再将点折到折痕上的点的位置,折痕为,求的长;(2)如图当时,在点由点移动到中点的过程中,求面积的取值范围【答案】(1);(2)【分析】(1)连接根据轴对称的性质,线段垂直平分线的性质,等边三角形的判定定理和性质求出CBM,根据正方形的性质,直角三角形的边角关系即可求出PF(2)连接AC交EF于点O,连接OB,OD,OG,再以O为圆心,以OA为半径画圆,取AD的中点为K,连接KO并延长交于J根据正方形的性质,全等三角形的判定定理和性质确定G,A,B,C,D共圆,然后确定点G在上运动,进而确定当点G与点C或点B重合时,ADG面积取得最小值,当点G与点J重合时,ADG面积取得最大值,最后根据正方形的性质,勾股定理,三角形中位线定理,三角形面积公式求解即可【详解】(1)解:如下图所示,连接正方形ABCD对折后,折痕为EF,正方形ABCD的边长为4,EF垂直平分BC,BC=4NB=NC,BF=2正方形折叠后点C到点N的位置,NB=BC,N