《中考数学二轮重难点复习讲义模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)(38页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型探究相似三角形考查范围广,综合性强,其模型种类多,其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解,这里就不在重复.模型一、A字型相似模型 A字型(平行) 反A字型(不平行)模型二、8字型与反8字型相似模型 模型三、AX型相似模型(A字型及X字型两者相结合)模型四、共边角相似模型(子母型) 模型五、手拉手相似模型 例题精讲考点一、A字相似模型【例1】如图,在ABC中,A78,AB4,AC6,将ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()ABCD解:A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,
2、故两三角形相似,故本选项错误;C、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确D、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误;故选:C变式训练【变式1-1】如图,在ABC中,DEBC,AHBC于点H,与DE交于点G若,则解:,DEBC,ADEABC,故答案为【变式1-2】.如图,在ABC中,M是AC的中点,E是AB上一点,AEAB,连接EM并延长,交BC的延长线于D,则_. 解:如图,过C点作CPAB,交DE于P,PCAE, AEMCPM, ,M是AC的中点, AMCM, PCAE,AEAB, CPAB, CPBE,CPBE, DCPDBE, BD3CD,BC2C
3、D,即2【变式1-3】如图,在ABC中,点D在边AB上,AD9,BD7AC12ABC的角平分线AE交CD于点F(1)求证:ACDABC;(2)若AF8,求AE的长度解:(1)AD9,BD7,AC12,ABAD+BD16,BACCAD,ACDABC;(2)由(1)可知,ACDABC,ABEACF,AE平分BAC,BAECAF,ABEACF,即,AE考点二、8字与反8字相似模型【例2】如图,AGBD,AF:FB1:2,BC:CD2:1,求的值解:AGBD,AFGBFD, ,CDBD, ,AGBD,AEGCED, 变式训练【变式2-1】如图,ABCD,AEFD,AE、FD分别交BC于点G、H,则下列
4、结论中错误的是()ABCD解:A、ABCD,故本选项不符合题目要求;B、AEDF,CEGCDH,ABCD,故本选项不符合题目要求;ABCD,AEDF,四边形AEDF是平行四边形,AFDE,AEDF,故本选项不符合题目要求;D、AEDF,BFHBAG,故本选项符合题目要求;故选:D【变式2-2】如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD的中点,连接AC,BE交于点F若AEF的面积为2,则ABC的面积为()A8B10C12D14解:如图,四边形ABCD是平行四边形,EABC,AEFCBF,AEDEAD,CBAD,AFAC,EFBF,SABFSABC,SAEFSABFSABCSABC,SAEF2,SA
5、BC6SAEF6212,故选:C【变式2-3】.如图,锐角三角形ABC中,A60,BEAC于E,CDAB于D,则DE:BC1:2解:如图,在ADC中,A60,CDAB于点D,ACD30,又在ABE中,A60,BEAC于E,ABE30,又AA,ADEACB,DE:BCAD:AC1:2故答案是:1:2考点三、AX型相似模型(A字型及X字型两者相结合)【例3】.如图,在ABC中,点D和E分别是边AB和AC的中点,连接DE,DC与BE交于点O,若DOE的面积为1,则ABC的面积为()A6B9C12D13.5解:点D和E分别是边AB和AC的中点,O点为ABC的重心,OB2OE,SBOD2SDOE212,
6、SBDE3,ADBD,SABE2SBDE6,AECE,SABC2SABE2612故选C变式训练【变式3-1】.如图,DE是ABC的中位线,F为DE中点,连接AF并延长交BC于点G,若SEFG1,则SABC24解:方法一:DE是ABC的中位线,D、E分别为AB、BC的中点,如图过D作DMBC交AG于点M,DMBC,DMFEGF,点F为DE的中点,DFEF,在DMF和EGF中,DMFEGF(AAS),SDMFSEGF1,GFFM,DMGE,点D为AB的中点,且DMBC,AMMG,FMAM,SADM2SDMF2,DM为ABG的中位线,SABG4SADM428,S梯形DMGBSABGSADM826,S
7、BDES梯形DMGB6,DE是ABC的中位线,SABC4SBDE4624,方法二:连接AE,DE是ABC的中位线,DEAC,DEAC,F是DE的中点,SEFG1,SACG16,EFAC,SAEGSACG4,SACESACGSAEG12,SABC2SACE24,故答案为:24【变式3-2】如图:ADEGBC,EG交DB于点F,已知AD6,BC8,AE6,EF2(1)求EB的长; (2)求FG的长解:(1)EGAD,BADBEF,即,EB3(2)EGBC,AEGABC,即,EG,FGEGEF【变式3-3】.如图,已知ABCD,AC与BD相交于点E,点F在线段BC上,(1)求证:ABEF;(2)求S
8、ABE:SEBC:SECD(1)证明:ABCD,EFCD,ABEF(2)解:设ABE的面积为mABCD,ABECDE,()2,SCDE4m,SBEC2m,SABE:SEBC:SECDm:2m:4m1:2:4模型四、子母型相似模型 【例4】.如图,点C,D在线段AB上,PCD是等边三角形,且APB120,求证:(1)ACPPDB,(2)CD2ACBD证明:(1)PCD是等边三角形,PCDPDCCPD60,ACPPDB120,APB120,APC+BPD60,CAP+APC60BPDCAP, ACPPDB;(2)由(1)得ACPPDB,PCD是等边三角形,PCPDCD,CD2ACBD变式训练【变式
9、4-1】.如图,点P在ABC的边AC上,要判断ABPACB,添加一个条件,不正确的是()AABPCBAPBABCCD解:在ABP和ACB中,BAPCAB,当ABPC时,满足两组角对应相等,可判断ABPACB,故A正确;当APBABC时,满足两组角对应相等,可判断ABPACB,故B正确;当时,满足两边对应成比例且夹角相等,可判断ABPACB,故C正确;当时,其夹角不相等,则不能判断ABPACB,故D不正确;故选:D【变式4-2】.如图,在ABC中,点D在AC边上,连接BD,若ABC+BDC180,AD2,CD4,则AB的长为()A3B4CD2解:ABC+BDC180,ADB+BDC180,ADB
10、ABC,AA,ABCADB,AD2,CD4,AB212,AB2或2(不合题意,舍去),故选:D【变式4-3】如图,边长为4的正方形,内切圆记为圆O,P为圆O上一动点,则PA+PB的最小值为 2 解:设O半径为r,OPrBC2,OBr2,取OB的中点I,连接PI,OIIB,O是公共角,BOPPOI,PIPB,AP+PBAP+PI,当A、P、I在一条直线上时,AP+PB最小,作IEAB于E,ABO45,IEBEBI1,AEABBE3,AI,AP+PB最小值AI,PA+PB(PA+PB),PA+PB的最小值是AI2故答案是2模型五、手拉手相似模型 【例5】.如图,ABC与DEF均为等边三角形,O为B
11、C、EF的中点,则AD:BE的值为解:连接OA、OD,ABC与DEF均为等边三角形,O为BC、EF的中点,AOBC,DOEF,EDO30,BAO30,OD:OEOA:OB:1,DOE+EOABOA+EOA 即DOAEOB,DOAEOB,OD:OEOA:OBAD:BE:1,故答案为:变式训练【变式5-1】.如图,在ABC与ADE中,BACDAE,ABCADE求证:(1)BACDAE; (2)BADCAE证明:(1)BACDAE,ABCADEBACDAE;(2)BACDAE,BACDAE,BADCAE,BADCAE【变式5-2】.如图,点D是ABC内一点,且BDC90,AB2,AC,BADCBD30,AD解:如图,过点A作AB的垂线,过点D作AD的垂线,两垂线交于点M,连接BM,BAD30,DAM60,AMD30,AMDDBC,又