《中考数学二轮重难点复习讲义模型10 加权逆等线最值模型（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型10 加权逆等线最值模型（解析版）（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍【模型总结】R在求形如“QB+kPA”（k1）的式子最值问题时，关键是要通过相似三角形构造出与kPA相等的线段(即kPA=QC)，将QB +kPA”型问题转化为“QB +QC”型将军饮马问题当k=1时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型，此种情况属于权为1的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等线段即可，然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可.R需要注意的是这里的QB、PA两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能通过相似或全等三角形得到kPA的等线段【解题方法】R利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答案.例题精讲
2、考点一:直角三角形中的加权逆等线模型【例1】.如图，已知BCAB，BC=AB=3,E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少？ 解：作CFCB，且使得CF=6，连接EF过点A做AGCF，交FC延长线于点G =2 ，FCECBD，EF=2CDAE+2CD=AE+EF当A、E、F三点一线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF易知：四边形ABCG为正方形 AG=3,CG=3FG=9 在RtFAG中，由勾股定理得 AF=AE+2CD的最小值为变式训练【变式1-1】.如图，等腰直角ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段A B和B C上的动点
3、， ，求的最小值. 解：作BFBC 并且使得BF=2，连接EF= BEFADC EF= CD AE+CD=AE+EF当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF反向延长BF，过点A作AHBF于点H在RtAHF中，由勾股定理易得：AF=AE+CD的最小值为【变式1-2】.如图, 在RtABC中, AC=6,BC=8,ACB=90。，点E、F分别是A B 、B C边上的动点, 且, 求CE+AF的最小值. 解：过点A作ADAB，并且使得AD=12，连接DE，CD过点C作CHAB于点H，CGAD延长线与点G=2 ,DAE=ACFDAEACF ，DE=2AF, CE+2AF=CE
4、+DE当C、E、D三点共线时，取到最小值，此时CE+2AF=CE+DE=CD由等面积法可得：CH= 四边形AGCH为矩形， AG=CH= ，DG=AD+AG=在RtCAH中 由勾股定理得：AH=CG=AH=在RtDCG中， 由勾股定理得：CD= CE+AF=（CE+2AF）；CE+AF的最小值为考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型【例2】.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别为CB、DC上的动点，且BE=2DF,求DE+2AF的最小值. 解：如图，延长BA至点,使得A=1;作点D关于BC的对称点连接E，E 易知B=2 DE=E E=2AF DE=E DE+2AF=E+E当、E、
5、三点一线时，E+E取到最小值.此时E+E= DE+2AF最小值为变式训练【变式2-1】.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=，点E、F分别是BD,BC上的一动点，且BF=2DE，则AF+2AE的最小值为多少？解: 连接 D F, 延长D C至点 , 使 , 连接A G, 易证的最小值是 .【变式2-2】.如图，在菱形ABCD中，BAD120，CD4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AMDN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当CFN面积最小时，BE+AE的最小值为 解：如图，连接MN、AC，四边形ABCD是菱形，BAD120，ABAD
6、CD，BACDACADC60，ADC和ABC为等边三角形，ACDC，ACD60，AMDN，AMCDNC（SAS），CMCN，DCNACM，MCNMCA+ACNDCN+ACNACD60，CMN为等边三角形，点F是CM上靠近点C的四等分点，SCFNSCMN，CMN的面积最小时，CFN的面积也最小，SCMN，当CN和CM长度最短时，SCMN的面积最小，即CNAD，CMAB时CFN的面积最小，取BE的中点为点G，连接MG，ABC为等边三角形，CMAB，点M是AB的中点，AEBE，MGAEBE，BE+AEAE+AEAE，点E是CM上的动点，AME90，AE的最小值即为AM的长度，CD4，AMAB2，（B
7、E+AE）最小值23，故答案为：3 实战演练1.如图,等腰 ，D、E分别是 AB、BC边上的动点,且满足 , 求的最小值.解：首先需要构建出,其次需要将AE和放到同一直线上.如图所示，构建，且相似比为 ，则 此时 即最小值为M N；如图所示，当A、 E 、F三点共线时，取得最小值为AF;接下来，我们求解AF的长度. CD的最小值为.2.如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE2DF，若AB1，BC2，则ME+2AF的最小值为方法一解：如图，过点M作MHBC于H设DFx，则BE2x四边形ABCD是矩形，BADBD90，MHBC，MHB90，四边形ABHM是矩形，
8、AMDMBH1，ABMH1，EH12x，ME+2AF+2+，欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q（2x，0），使得点Q到J（0，4），和K（1，1）的距离之和最小（如下图），作点J关于x轴的对称点J，连接KJ交x轴于Q，连接JQ，此时JQ+QK的值最小，最小值KJ，J（0，4），K（1，1），KJ，ME+2AF的最小值为， 故答案为方法二 延长AB至点G，使得BG=4，连接GE作点G关于直线BC的对称点N，连接EN，MNGE=NE易证BGEDAF，GE=2AF故 ME+2AF=ME+GE=ME+NE当M 、E、 N三点共线时，ME+NE取到最小值此时ME+NE=MN在RtMNA中，
9、由勾股定理可得：MN=3如图，在正方形ABCD中，P为AD上一点，且，E、F分别为CD、BC上的动点，且BF3DE，若AD=3，求PF+3AE的最小值 解：延长BA到点G，使得BG=3AD=9，作点G关于直线BC的对称点H连接GF，FH，由对称原理可知：FH=GF易证GBFADE GF=3AE 故PF+3AE=PF+GF=PF+FH当P、F、H三点共线时，PF+FH取到最小值此时PF+FH=PH在RtABP中，由勾股定理可得：PH=PF+3AE最小值为4如图，在RtACB，BCA90，A30，AC，点D在线段AB上，点E在线段AB的延长线上，且BEAD，则CE+CD的最小值是解：如图所示，作点
10、C关于AB的对称点G，连接CG，DG，AG，则CDGD，ACAG，CAG2CAB60，CGAB，ACG是等边三角形，CGAC，如图，以DE，DG为边作平行四边形DEHG，则DGEH，HGDE，EHCD，CGGH，CD+CEHE+CE，当C，E，H在同一直线上时，连接CH，CE+CD的最小值等于CH的长，RtACB中，BCA90，A30，AC，BCtan30AC1，AB2BC2，DABE，ABDE2，平行四边形DEHG中，HG2，RtCGH中，CH，CE+CD的最小值等于，故答案为：5如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，点P在边AD上，点Q在边BC上，且APCQ，连接CP，QD，则PC+QD
11、的最小值等于 10 解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，ADBC，ADBC6，APCQ，ADAPBCCQ，DPQB，DPBQ，四边形DPBQ是平行四边形，PBDQ，PBDQ，则PC+QDPC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AEAB4，连接PE，则BE2AB8，PABE，PA是BE的垂直平分线，PBPE，PC+PBPC+PE，连接CE，则PC+QDPC+PBPC+PECE，CE10，PC+PB的最小值为10，即PC+QD的最小值为10，故答案为：106如图，平行四边形ABCD，ABAD，AD4，ADB60，点E、F为对角线BD上的动点，DE2BF，连接
12、AE、CF，则AE+2CF的最小值为 解：如图，在直线DB的上方作BDT60，且使得DT2BC过点T作THAD交AD的延长线于H四边形ABCD是平行四边形，BCAD，ADBC4，ADBDBC60，CBFTDE，CBFTDE，ET2CF，TDH180606060，H90，DT2BC8，DHDTcos604，HTDH4，AHAD+DH8，AT4，AE+2CFAE+ET，AE+ETAT，AE+2CF4，AE+2CF的最小值为4 故答案为：47问题提出：（1）如图，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，过点A作AFDE，交BC于点F，则DE与AF的数量关系是：DEAF；问题探究：（2）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF1，求GH的长；问题解决：（3）如图，在正方形ABCD中，M为AD上一点，且，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE2DF，若AB4，求ME+2AF的最小值解：（1）如图1，DEAF，理由如下：在正方形ABCD中，ABCBAD90，ADAB，BAF+AFB90，AFDE，AOE90，BAF+AED90，AFBAED，ABF
