《中考数学二轮重难点复习讲义模型10 加权逆等线最值模型(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型10 加权逆等线最值模型(解析版)(30页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍【模型总结】R在求形如“QB+kPA”(k1)的式子最值问题时,关键是要通过相似三角形构造出与kPA相等的线段(即kPA=QC),将QB +kPA”型问题转化为“QB +QC”型将军饮马问题当k=1时,加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型,此种情况属于权为1的特殊情况,只需通过全等三角形构造出相等线段即可,然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可.R需要注意的是这里的QB、PA两条线段的延长线方向必须要有交叉,方能通过相似或全等三角形得到kPA的等线段【解题方法】R利用比例线段构造相似三角形转化线段,把双动点问题转化为单动点将军饮马问题,利用“两点之间线段最短”从而解出答案.例题精讲
2、考点一:直角三角形中的加权逆等线模型【例1】.如图,已知BCAB,BC=AB=3,E为BC边上一动点,连接AE,D点在AB延长线上,且CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少? 解:作CFCB,且使得CF=6,连接EF过点A做AGCF,交FC延长线于点G =2 ,FCECBD,EF=2CDAE+2CD=AE+EF当A、E、F三点一线时,AE+EF取到最小值,此时AE+EF=AF易知:四边形ABCG为正方形 AG=3,CG=3FG=9 在RtFAG中,由勾股定理得 AF=AE+2CD的最小值为变式训练【变式1-1】.如图,等腰直角ABC中,斜边BC=2,点D、E分别为线段A B和B C上的动点
3、, ,求的最小值. 解:作BFBC 并且使得BF=2,连接EF= BEFADC EF= CD AE+CD=AE+EF当A、E、F三点共线时,AE+EF取到最小值,此时AE+EF=AF反向延长BF,过点A作AHBF于点H在RtAHF中,由勾股定理易得:AF=AE+CD的最小值为【变式1-2】.如图, 在RtABC中, AC=6,BC=8,ACB=90。,点E、F分别是A B 、B C边上的动点, 且, 求CE+AF的最小值. 解:过点A作ADAB,并且使得AD=12,连接DE,CD过点C作CHAB于点H,CGAD延长线与点G=2 ,DAE=ACFDAEACF ,DE=2AF, CE+2AF=CE
4、+DE当C、E、D三点共线时,取到最小值,此时CE+2AF=CE+DE=CD由等面积法可得:CH= 四边形AGCH为矩形, AG=CH= ,DG=AD+AG=在RtCAH中 由勾股定理得:AH=CG=AH=在RtDCG中, 由勾股定理得:CD= CE+AF=(CE+2AF);CE+AF的最小值为考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型【例2】.如图,在正方形ABCD中,AB=1,E、F分别为CB、DC上的动点,且BE=2DF,求DE+2AF的最小值. 解:如图,延长BA至点,使得A=1;作点D关于BC的对称点连接E,E 易知B=2 DE=E E=2AF DE=E DE+2AF=E+E当、E、
5、三点一线时,E+E取到最小值.此时E+E= DE+2AF最小值为变式训练【变式2-1】.如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=,点E、F分别是BD,BC上的一动点,且BF=2DE,则AF+2AE的最小值为多少?解: 连接 D F, 延长D C至点 , 使 , 连接A G, 易证的最小值是 .【变式2-2】.如图,在菱形ABCD中,BAD120,CD4,M,N分别是边AB,AD的动点,满足AMDN,连接CM、CN,E是边CM上的动点,F是CM上靠近C的四等分点,连接AE、BE、NF,当CFN面积最小时,BE+AE的最小值为 解:如图,连接MN、AC,四边形ABCD是菱形,BAD120,ABAD
6、CD,BACDACADC60,ADC和ABC为等边三角形,ACDC,ACD60,AMDN,AMCDNC(SAS),CMCN,DCNACM,MCNMCA+ACNDCN+ACNACD60,CMN为等边三角形,点F是CM上靠近点C的四等分点,SCFNSCMN,CMN的面积最小时,CFN的面积也最小,SCMN,当CN和CM长度最短时,SCMN的面积最小,即CNAD,CMAB时CFN的面积最小,取BE的中点为点G,连接MG,ABC为等边三角形,CMAB,点M是AB的中点,AEBE,MGAEBE,BE+AEAE+AEAE,点E是CM上的动点,AME90,AE的最小值即为AM的长度,CD4,AMAB2,(B
7、E+AE)最小值23,故答案为:3 实战演练1.如图,等腰 ,D、E分别是 AB、BC边上的动点,且满足 , 求的最小值.解:首先需要构建出,其次需要将AE和放到同一直线上.如图所示,构建,且相似比为 ,则 此时 即最小值为M N;如图所示,当A、 E 、F三点共线时,取得最小值为AF;接下来,我们求解AF的长度. CD的最小值为.2.如图,M为矩形ABCD中AD边中点,E、F分别为BC、CD上的动点,且BE2DF,若AB1,BC2,则ME+2AF的最小值为方法一解:如图,过点M作MHBC于H设DFx,则BE2x四边形ABCD是矩形,BADBD90,MHBC,MHB90,四边形ABHM是矩形,
8、AMDMBH1,ABMH1,EH12x,ME+2AF+2+,欲求ME+2AF的最小值,相当于在x轴上找一点Q(2x,0),使得点Q到J(0,4),和K(1,1)的距离之和最小(如下图),作点J关于x轴的对称点J,连接KJ交x轴于Q,连接JQ,此时JQ+QK的值最小,最小值KJ,J(0,4),K(1,1),KJ,ME+2AF的最小值为, 故答案为方法二 延长AB至点G,使得BG=4,连接GE作点G关于直线BC的对称点N,连接EN,MNGE=NE易证BGEDAF,GE=2AF故 ME+2AF=ME+GE=ME+NE当M 、E、 N三点共线时,ME+NE取到最小值此时ME+NE=MN在RtMNA中,
9、由勾股定理可得:MN=3如图,在正方形ABCD中,P为AD上一点,且,E、F分别为CD、BC上的动点,且BF3DE,若AD=3,求PF+3AE的最小值 解:延长BA到点G,使得BG=3AD=9,作点G关于直线BC的对称点H连接GF,FH,由对称原理可知:FH=GF易证GBFADE GF=3AE 故PF+3AE=PF+GF=PF+FH当P、F、H三点共线时,PF+FH取到最小值此时PF+FH=PH在RtABP中,由勾股定理可得:PH=PF+3AE最小值为4如图,在RtACB,BCA90,A30,AC,点D在线段AB上,点E在线段AB的延长线上,且BEAD,则CE+CD的最小值是解:如图所示,作点
10、C关于AB的对称点G,连接CG,DG,AG,则CDGD,ACAG,CAG2CAB60,CGAB,ACG是等边三角形,CGAC,如图,以DE,DG为边作平行四边形DEHG,则DGEH,HGDE,EHCD,CGGH,CD+CEHE+CE,当C,E,H在同一直线上时,连接CH,CE+CD的最小值等于CH的长,RtACB中,BCA90,A30,AC,BCtan30AC1,AB2BC2,DABE,ABDE2,平行四边形DEHG中,HG2,RtCGH中,CH,CE+CD的最小值等于,故答案为:5如图,在矩形ABCD中,AB4,AD6,点P在边AD上,点Q在边BC上,且APCQ,连接CP,QD,则PC+QD
11、的最小值等于 10 解:如图,连接BP,在矩形ABCD中,ADBC,ADBC6,APCQ,ADAPBCCQ,DPQB,DPBQ,四边形DPBQ是平行四边形,PBDQ,PBDQ,则PC+QDPC+PB,则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值,在BA的延长线上截取AEAB4,连接PE,则BE2AB8,PABE,PA是BE的垂直平分线,PBPE,PC+PBPC+PE,连接CE,则PC+QDPC+PBPC+PECE,CE10,PC+PB的最小值为10,即PC+QD的最小值为10,故答案为:106如图,平行四边形ABCD,ABAD,AD4,ADB60,点E、F为对角线BD上的动点,DE2BF,连接
12、AE、CF,则AE+2CF的最小值为 解:如图,在直线DB的上方作BDT60,且使得DT2BC过点T作THAD交AD的延长线于H四边形ABCD是平行四边形,BCAD,ADBC4,ADBDBC60,CBFTDE,CBFTDE,ET2CF,TDH180606060,H90,DT2BC8,DHDTcos604,HTDH4,AHAD+DH8,AT4,AE+2CFAE+ET,AE+ETAT,AE+2CF4,AE+2CF的最小值为4 故答案为:47问题提出:(1)如图,在正方形ABCD中,E为边AB上一点(点E不与点A、B重合),连接DE,过点A作AFDE,交BC于点F,则DE与AF的数量关系是:DEAF;问题探究:(2)如图,在矩形ABCD中,AB4,AD6,点E、F分别在边AB、CD上,点M为线段EF上一动点,过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积,且DF1,求GH的长;问题解决:(3)如图,在正方形ABCD中,M为AD上一点,且,E、F分别为BC、CD上的动点,且BE2DF,若AB4,求ME+2AF的最小值解:(1)如图1,DEAF,理由如下:在正方形ABCD中,ABCBAD90,ADAB,BAF+AFB90,AFDE,AOE90,BAF+AED90,AFBAED,ABF