《中考数学二轮重难点复习讲义模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型（解析版）（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1平面展开-最短路径问题（1）平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是两点之间，线段最短在平面图形上构造直角三角形解决问题（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型例如图所示，有一正方体纸盒，在点C1处有一只小虫，它要爬到点A吃食物应该沿着怎样的路线才能使行程最短？解：如图，把侧面或上面展开与正面组成一矩形，连接AC1，则AC1就是行程最短的路线2.赵爽弦图模型我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等
2、的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2c2称为勾股定理把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论证明：由图2得，大正方形面积4（a+b）2，整理得b2+c2+2ab2ab+c2，c2a2+b2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方例题精讲考点一：行程最短问题【例1】如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是 20cm（取3）解：将圆柱体展开
3、，连接A、B，根据两点之间线段最短，根据题意可得：AC是圆周的一半，AC2412，AB20cm变式训练【变式1-1】如图，圆锥的底面圆的半径为10cm，母线长为40cm，C为母线PA的中点，一只蚂蚁欲从点B处沿圆锥的侧面爬到点C处，则它爬行的最短距离是 20cm解：由题意知，底面圆的直径AB20，故底面周长等于20设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，20，解得n90展开图中扇形圆心角90，作CEPB于E，则CEPE10，BE4010，根据勾股定理求得它爬行的最短距离是20cm蚂蚁爬行的最短距离为20cm【变式1-2】如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是
4、9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm解：由题意可得，当展开前面和右面时，最短路线长是：15（cm）；当展开前面和上面时，最短路线长是：7（cm）；当展开左面和上面时，最短路线长是：（cm）；157，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，故答案为：15【变式1-3】如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 2.5米解：三级台阶平面展开图为长方形，
5、长为2，宽为（0.2+0.3）3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x222+（0.2+0.3）322.52，解得x2.5考点二：弦图模型的应用【例2】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD若AE5，AB13，则中间小正方形EFGH的面积是 49解：AE5，AB13，BFAE5，在RtABF中，AF12，小正方形的边长EF1257，小正方形EFGH的面积为7749故答案为：49变式训练【变式2-1】如图1是我国古代著名的“赵爽 弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形
6、围成若较短的直角边BC2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是38解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，ACy，则x24y2+2.52，BCD的周长是15，x+2y+2.515则x6.5，y3这个风车的外围周长是：4（x+y）49.538故答案是：38【变式2-2】如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记GKH面积为S1，JIC面积为S2，若AE12，CD4，则S1+S2的值为 16解：由题意可得，AFCI
7、，AFGCIJ90，FHEI，AGFHGK，IJCKJE，FHEI，HGKKJE，AGFIJC，在AFG和CIJ中，AFGCIJ（AAS），FGIJ，四边形EFHI为正方形，EIIJFHFG，即HGEJ，在GHK和JEK中，GHKJEK（AAS），HKEK，即点K为正方形EFHI的中心，如图，过点K作KMFH于点M，AE12，CD4，BF12，AD，在RtADE中，由勾股定理得DE4，AFDE4，EFAEAF1248，则FH8，KM4，设GHa，FGb，则a+bFH8，2b，S1+S22a+2b2（a+b）16故答案为：16 1如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中
8、心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（）A5S6B6S7C7S8D8S9解：正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程S5+5+即6S7故选：B2如图是我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tanADE的值为（）ABCD解：设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，图中的四个直角三角形是全等的，AEDH，设AEDHx，在RtAED中，AD2AE2+DE2，即13a2x2+（x+a）2解得：x12a，x23a（舍去
9、），AE2a，DE3a，tanADE，故选：C3如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3若S1+S2+S360，则S2的值是（）A12B15C20D30解：设每个小直角三角形的面积为m，则S14m+S2，S3S24m，因为S1+S2+S360，所以4m+S2+S2+S24m60，即3S260，解得S220故选：C4四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）如果小正方形面积为4，大正方形面积为74，直角三角形中较小的锐角为，那么t
10、an的值是（）ABCD解：由已知条件可知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2（）2，解得x5则较长边的边长为x+25+27故tan故选：B5赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI2，CI1，S25S1，则GI的值是（）ABCD解：如图，连接DG，赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，AEBFCGDH，AFBGCHDE，C
11、HDE，DI2，CI1，CDDI+CI2+13，大正方形ABCD的面积为S2，S2CD2329，又小正方形EFGH的面积为S1，S25S1，S1，EFFGGHHE，将EG延长交CD于点I，HGE45，在RtEHG中，由勾股定理得：EG，设AEBFCGDHx，则AFBGCHDEx+，在RtCDH中，由勾股定理得：CD2DH2+CH2，即9x2+（x+）2，解得：x1，x2（不合题意，舍去），即AEBFCGDHx，DHEH，CH垂直平分ED，DGEG，DGHHGE45，DGE45+4590，DGI90，在RtDGI中，由勾股定理得：GI，故选：A6如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A
12、到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 13解：因为圆柱底面圆的周长为212，高为5，所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，根据勾股定理，对角线长为13故蚂蚁爬行的最短距离为137如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2，解得n90，所以展开图中圆心角为90，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：48将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2若以一个直角三角
13、形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2则S1S212解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（ab），根据图1得：a+b6，根据图2得：ab2，联立解得：，S116，S24，则S1S212故答案为：129如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为 16解：由题意作出如下图，得AC，BD2，ABCD，ABD是直角三角形，则大正方形面积AC234，ADC面积（5323）4.5，阴影部分的面积S3444.516，故答案为：1610如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成33个小正方形其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.5秒
