《中考数学二轮重难点复习讲义模型16 胡不归最值问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型16 胡不归最值问题（解析版）（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍【模型总结】在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问题转化为“PB+PC”型而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段【问题】如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值.【问题解决】构造射线AD使得sin=k，PC/PA=k，CP=kAPlD将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BCAD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC取到最小值，即PB+kPA最小例题精讲【例1】如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD
2、的最小值是 4解：如图，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，AEB90，tanA2，设AEa，BE2a，则有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍弃），BE2a4，ABAC，BEAC，CMAB，CMBE4（等腰三角形两腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH，DHBD，CD+BDCD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值为4 故答案为4变式训练【变式1-1】如图，在RtABC中，ACB90，A30，则AB2BC请在这一结论的基础上继续思考：若AC2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+CP的最小值为（）A1BCD2解：过C作CEAB于E，过点P
3、作PFEC于F，ACB90，点D是AB的中点，CDABAD，CAB30，B60，BCD为正三角形，DCE30，PFCP，AP+CPAP+PFAE，CAB30，AC2，CEAC1，AE，AP+CP的最小值为 故选：C【变式1-2】如图，在ABC中，AB5，AC4，sinA，BDAC交AC于点D点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为 解：过点P作PEAB于点E，过点C作CHAB于点H，BDAC，ADB90，sinA，AB5，BD4，由勾股定理得AD，sinABD，EP，PC+PBPC+PE，即点C、P、E三点共线时，PC+PB最小，PC+PB的最小值为CH的长，SABC，445CH，CHP
4、C+PB的最小值为 故答案为：【变式1-3】如图，ABC在直角坐标系中，ABAC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为ADC，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_.解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，设D坐标为（0，y），则AD2y，CD，设t+，等式变形为：t+y，则t的最小值时考虑y的取值即可，t2+（y）t+（y）2y2+1，y2+（t）yt2+t+10，（t）24（t2+t+1）0，t的最小值为，y，点D的坐标为（0，），解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为V，总时间t+（+CD）
5、，要使t最小，就要+CD最小，因为ABAC3，过点B作BHAC交AC于点H，交OA于D，易证ADHACO，所以3，所以DH，因为ABC是等腰三角形，所以BDCD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了因为AOCBOD，所以，即，所以OD，所以点D的坐标应为（0，），【例2】如图，ABCD中A60，AB6，AD2，P为边CD上一点，则PD+2PB最小值为 6解：如图，过点P作PHAD，交AD的延长线于H，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ACDH60，HPAD，DPH30，DHDP，HPDHDP，PD+2PB2（PD+PB）2（HP+PB），当点H，点P，点H三
6、点共线时，HP+PB有最小值，即PD+2PB有最小值，此时：BHAH，A60，ABP30，AHAB3，BHAH3，则PD+2PB最小值为6， 故答案为：6变式训练【变式2-1】如图，在菱形ABCD中，ABAC10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 解：如图，过点P作PEBC于E，四边形ABCD是菱形，ABAC10，ABBCAC10，ABDCBD，ABC是等边三角形，ABCACB60，CBD30，PEBC，PEPB，MP+PBPM+PE，当点M，点P，点E共线且MEBC时，PM+PE有最小值为ME，AM3，MC7，sinA
7、CB，ME，MP+PB的最小值为， 故答案为【变式2-2】如图，AC是O直径，AC4，BAC30，点D是弦AB上的一个动点，那么DB+OD的最小值为解：作BKCA，DEBK于E，OMBK于M，连接OBBKAC，DBEBAC30，在RtDBE中，DEBD，OD+BDOD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，BAOABO30，OBM60，在RtOBM中，OB2，OBM60，OMOBsin60，DB+OD的最小值为， 故答案为【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点是该抛物线对称轴上的一点，则OP+AP的最
8、小值为（）A3B2CD解：连接AO、AB，PB，作PHOA于H，BCAO于C，如图，当y0时，x22x0解得x10，x24，则B（4，0），yx22x（x2）22，则A（2，2），OA4，ABAOOB4，AOB为等边三角形，OAP30，PHAP，AP垂直平分OB，POPB，OP+APPB+PH，当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，而BCAB42，OP+AP的最小值为2 故选：B 实战演练1如图，在ABC中，A90，B60，AB2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（）A2+6B6C+3D4解：过点C作射线CE，使BCE30，再过动点D作DFCE，垂足为点F，连
9、接AD，如图所示：在RtDFC中，DCF30，DFDC，2AD+DC2（AD+DC）2（AD+DF），当A，D，F在同一直线上，即AFCE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，BADB60，ABD是等边三角形，ADBDAB2，在RtABC中，A90，B60，AB2，BC4，DC2，DFDC1，AFAD+DF2+13，2（AD+DF）2AF6，2AD+DC的最小值为6， 故选：B2如图，在ABC中，A15，AB2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）ABCD2解：以A为顶点，AC为一边，在AC下方作CAM45，过B作BDAM于D，交AC
10、于P，如图：由作图可知：ADP是等腰直角三角形，ADPDAP，AP+PBPD+PB，AP+PB取最小值即是PD+PB取最小值，此时B、P、D共线，且BDAD，AP+PB的最小值即是BD的长，BAC15，CAM45，ABD30，ADAB1，BDAD，AP+PB的最小值是 故选：B3在ABC中，ACB90，P为AC上一动点，若BC4，AC6，则BP+AP的最小值为（）A5B10C5D10解：以A为顶点，AC为一边在下方作CAM45，过P作PFAM于F，过B作BDAM于D，交AC于E，如图：BP+AP（BP+AP），要使BP+AP最小，只需BP+AP最小，CAM45，PFAM，AFP是等腰直角三角形
11、，FPAP，BP+AP最小即是BP+FP最小，此时P与E重合，F与D重合，即BP+AP最小值是线段BD的长度，CAM45，BDAM，AEDBEC45，ACB90，sinBECsin45，tanBEC，又BC4，BE4，CE4，AC6，AE2，而sinCAMsin45，DE，BDBE+DE5，BP+AP的最小值是BD10， 故选：B4如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则AP+OP的最小值为（）A4B5C2D3解：如图，过点A作AHOC于点H，过点P作PFOC于点F，连接AC交OB于点J四边形OABC是菱形，ACOB，OJJB2，CJ，AC2CJ2，AHOC，
12、OCAHOBAC，AH4，sinPOF，PFOP，AP+OPAP+PF，AP+PFAH，AP+OP4，AP+OP的最小值为4， 故选：A5如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于A、C（3，0）两点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为（0，1），连接PD，则PD+PC的最小值是（）A4B2+2C2D+解：连接BC，过点P作PJBC于J，过点D作DHBC于H，把C（3，0）代入yx2+bx+3，得9+3b+30，解得b2，二次函数解析式为：yx2+2x+3，令y0，x2+2x+30，解得x1或3，A（1，0），令x0，yx2+2x+33，B（0，3），OBOC3，BOC90，OBCOCB45，D（0，1），OD1，BD4，DHBC，DHB90，DHBDsin
