高二数学奥赛讲义

上传人:hs****ma 文档编号:428234992 上传时间:2023-05-29 格式:DOC 页数:11 大小:2.43MB
返回 下载 相关 举报
高二数学奥赛讲义_第1页
第1页 / 共11页
高二数学奥赛讲义_第2页
第2页 / 共11页
高二数学奥赛讲义_第3页
第3页 / 共11页
高二数学奥赛讲义_第4页
第4页 / 共11页
高二数学奥赛讲义_第5页
第5页 / 共11页
点击查看更多>>
资源描述

《高二数学奥赛讲义》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高二数学奥赛讲义(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。

1、高二数学奥赛讲义一、整除1. 整数的简单性质(1)素数与合数;仅有1和它本身这两个正因数且大于1的整数叫素数(或质数),一个正整数除1和它本身以外,还有其他正因数的数叫做合数,1既不是素数也不是合数.正整数=1素数合数.(2)互素;如果两个整数与没有共同的素因数,则称与互素,记为(,)=1.(3)设a为大于1的整数,则a的大于1的最小因数一定是素数.(4)设a为大于1的整数,若对所有不大于的素数,有?(表示a不被整除),则a是素数.2.整数的奇偶性(1)能被2整除的数称偶数,可表示为的形式;不能被2整除的数称为奇数,可表示为的形式.(2)奇数与偶数的性质:奇数偶数;奇数个奇数之和为奇数,偶数个

2、奇数之和这偶数,奇数加偶数为奇数,偶数加偶数为偶数;两数和与两数差的奇偶性相同;积为奇数的充要条件是各个因数均为奇数;偶数与任何整数的乘积都为偶数;个偶数的积为的倍数.3. 带余除法若是两个整数,则一定有且只有两个整数,使得成立. 时,称整除,记作.(1)若两个整数与被除的余数相同,则,则与被除的余数相同;(2)n个连续整数中有且仅有一个是n的倍数;(3)设b是整数,则任意个整数中,至少有两个数被b除的余数相同.4. 整除的性质设为的最大公因数,记为的最小公倍数,记为,整除有以下性质;(1)若;(2)若;(3)若(4)若(5)若(6)若(7)若;(8)若则;(9)若且是的公因数,则(10);(

3、11);(12)若为素数,例1.证明:对于任何自然数,数都不能分解成若干个连续的正整数之积.例2. 设是1,2,7的一个排列,求证: 必是偶数.例3. 若三个大于3的素数满足关系式例4. 试求出所有的正整数,其中的因数.例5. 设是正整数,能被24整除,求所有这样的的个数.二、同余定义设是一个给定的正整数,如果两个整数除所得的余数相同,则称对模同余,记为同余的基本性质(1)反身性:.(2)对称性:若,则.(3)传递性:若.(4)若(5)若(6)若.(7)若(8)若(9)若(10)完全平方数模4同余于0或1;模8同余于0,1或4;模3同余于0或1;模5同余于0,1或-1,完全立方数模9同余于0,

4、1或-1,整数的四次方模16同余于0,1.例1. 求的个位数字是?例2.若,且都是完全平方数,那么必为40的倍数.例3. 设具有下列两条性质;(1)对任何恒有(2).证明:G中的奇数的个数是4的倍数,且G中所有数字的平方和为一个定值.例4. 写出所有的由3个素数组成公差为8的等差数列.三、抽屉原理抽屉原理又称为鸽笼原理或狄利克雷原理,它是数学中证明存在性的一种特殊方法.定理1 把个元素分成n个集合,其中必有一个集合至少含有个元素.定理1还有无限形式,但不管是有限还是无限形式,我们考虑的总是元素多的集合,其实元素少的集合有时也很有用,所以抽屉原理还有另一种形式;定理2 把个元素分成n个集合,其中

5、必有一个集合至多含有个元素.我们将从数论、集合、几何、三角不等式证明等来说明抽屉原理的应用.利用抽屉原理解题,关键是构造合适的抽屉.例1. 设为无理数.证明:对任意的正整数n,存在整数,满足例2. 求所有的正整数n,使得集合的任意35元子集至少存在两个不同的元素a.b满足例3. 设有六个点,每两点之间用红色或蓝色线段相连,且任意三点不共线,求证:总可以找到三个点,以这三点构成的三角形的三边涂有相同的颜色.例4. 在中,求证:变式:在中,求证:四、客斥原理客斥原理,又称为包容排斥原理或逐步淘汰原理.顾名思义,即先计算一个较大集合的元素的个数,再把多计算的那一部分去掉.它由英国数学家J.J.西尔维

6、斯特首先创立.当是有限集合A的一个分划,即这时我们有这实际上是组合计数中的加法原理.但当时,又该如何计数呢?这就有下面的所谓的容斥原理.容斥原理设为集合A的有限子集,其元素个数分别为,则由集合知识,有从而容斥原理还有另一种表现形式容斥原理可用数学归纳法证明.对于n=2的情形,可以用组合恒等式证明中的“贡献法”来证明。所谓贡献法,就是要计算可以考虑所有元素对的贡献;如果,则x对的贡献为1,否则贡献为0,这样只要考虑每个元素对等式的左右两端的贡献是否相等.容斥原理是解决有限集合计数问题的重要原理之一,也常常用在重复组合、不定方程的解、错位排列、禁位排列等计数问题上.用容斥原理解决这些问题的关键是用

7、集合语言或符号语言将所要解决的问题表示出来.例1. 用1,2,3,4,5这5个数字,可以组成比20000大并且百位数不是3的没有重复数字的五位数的个数.例2. 从自然数列1,2,3,4,5,中依次划去3的倍数和4的倍数,但是其中凡是5的倍数均保留. 划完后剩下的数依次构成一个新的数列:求例3. 在一次数学演讲中,有5个数学家打瞌睡.每人恰好睡了两次.每两个人都在某时刻同时瞅着了. 求证:一定存在某个时刻有三个人同时睡着了.例4. 求满足的方程的整数解的个数.例5. 的一个错位排列是的一个排列,使得.用表示的错位排列的个数.证明:例6. 有8个孩子坐在旋转木马上,如果让他们交换位置,使得每一个孩

8、子的前边都不是原来在他前面的那个孩子,问有多少种不同的方法?五、圆的有关定理圆中的相关知识主要有:1. 圆的对称性,垂径定理;2. 与圆有关的角;圆心角,圆周角,弦切角,圆内角,圆外角.3. 切线的判定与性质;4. 圆幂定理;5. 正弦定理以及在其后几节中出现的许多定理.圆中的基本问题:1. 证明角相等或计算角度、弧长;2. 证明线段相等或线段成比例或计算线段长度、图形面积;3. 证明图形相似;4. 证明各个几何图形的位置关系(如共线,共点,共圆,平行,垂直等).解决这些基本问题的常用方法,通常是:(1)可以通过证明三角形全等或相信;(2)可以利用圆周角、弦切角等与圆有关的角的关系进行转化;(

9、3)可以利用圆幂定理;(4)转化为三角计算.例1. 如图27-1,设I为的内心,射线AI,BI,CI分别交的外接圆于点D,E,F,求证:例2. 如图27-2,过外一点P作的一条切线PC和一条割线PAB,已知这两条线均在PO的同一侧,Q为C在PO上的射影,求证:QC平分例3. 如图27-5,切正三角形ABC的边BC于点D,分别交边AB于点M,交边AC于点P,Q,求证:BD+AM+AN=CD+AP+AQ.例4. 如图27-6,P为外的一点,作的两条切线PA,PB与任一割线PCD,证明:(1) (2)例5. 如图27-13,与相交于A,B两点,的一条弦CD切于点E,且AE与切于点A,求证:.例6.

10、如图27-16,的两条弦AC,BD交于点K,设M,N分别为的外心,证明:四边形OMKN是平行四边形.例7. 如图27-18,半圆的直径为AB,C为OB上一点,过点C且垂直于AB的直线交半圆于点D,与半圆内切于点F,与CD切于点E,与CB切于点G. 证明为等腰三角形.例8. 如图27-19,中,D为BC中点,点M在边BC上,且满足,若的外接圆与AB的另一交点为K,的外接圆与边AC的另一交点为L,求证:六、共圆如果有四点或四个以上的点在同一个圆上,就是共圆问题.点共圆问题出现的形式一般有两种;一是以点共圆作为证题目的;二是以点共圆作为解题手段,即作出辅助圆来汇聚条件、揭露隐含、转化所证结论的作用.

11、证明四点共圆的常用方法1. 注意圆的定义;证明几个点与某个定点距离相等;2. 如果某两点在某条线段的同旁,证明这两点对这条线段的张角相等;3. 证明凸四边形有一组对角互补(或外角等内对角).4. 证明这四点可以满足圆幂定理(相交弦定理、割线定理、切割线定理的逆定理).5. 其他方法共圆的作用;1.利用多点共圆找出角度或者是三角形边长之间的等量关系;(证角相等、垂直、线段相等)2.利用四点共圆证明多点共圆.例1. 如图28-1,设圆和圆相交于点M和P,圆的弦MA和圆相切于点M,圆的弦于圆相切于点M,在直线MP上截取PH=MP. 证明:M,A,H,B四点共圆.例2. 在锐角中,M,N分别是高线的中

12、点,AM与,AN与分别交于点P,Q.证明:(1)M,N,P,Q四点共圆;(2)若B,C,P,Q四点共圆,则是等腰三角形.例3. 在ABC中,交AC于D,如图28-10,CP垂直BD,垂足为P,AQ垂直BP,Q为垂足,M是AC中点,E是BC中点. 若的外接圆O与AC的另一个交点为H. 求证:O,H,E,M四点共圆.例4. 如图13,在圆内接中,AB=AC,经过A任作二弦AE,AQ且AE交直线BC于D,AQ交直线CB于P. 求证:P,Q,D,E四点共圆.例5. 如图28-17,给定凸四边形ABCD,P是平面上的动点,令.求证:当达到最小值时,P,A,B,C四点共圆.例6. 如图28-19,已知D,

13、E,F分别是三边AB,BC,CA上的点,且AD=AF,BD=BE,DE=DF.设I是的内心,过点A作外接圆的切线与BI交于点K,若AK=AD,证明:AK=EK.例7. (九点圆定理)三角形三条高的垂足、三边的中点,以及垂心与顶点的三条连结线段的中点,这九点共圆.已知:在中,H是垂心,L,M,N分别为BC,CA,AB的中点,D,E,F分别是三高之垂足,P,Q,R分别是AH,BH,CH的中点,求证:L,M,N,D,E,F,P,Q,R九点共圆.七、共线点与共点线(一)点共线共线,指的三个及以上的点在同一条直线上. 多点共线可化归为三点共线问题. 证明三点A、B、C共线的方法很多,常从以下几个方面考虑:1. 从角考虑:如图29-1,设B在线段XY上,证明(对顶角相等的逆定理).而在图29-2中,应改为证明.2. 从线考虑:证明AB,AC与同一条直线平行(或垂直);或证明AB+BC=AC.3. 从有关结论考虑:梅涅劳斯(Menelaus)定理、Simson线等;4. 从形考虑:证A,B,C三点所成的三角形面积为零;可利用位似;5. 从方法上考虑;可考虑反证法、同一法、解析法等.(二)线共点共点,指n条()直线经过同一点.多直

展开阅读全文
相关资源
正为您匹配相似的精品文档
相关搜索

最新文档


当前位置:首页 > 医学/心理学 > 基础医学

电脑版 |金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号