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1、高二数学奥赛讲义一、整除1. 整数的简单性质（1）素数与合数；仅有1和它本身这两个正因数且大于1的整数叫素数（或质数），一个正整数除1和它本身以外，还有其他正因数的数叫做合数，1既不是素数也不是合数.正整数=1素数合数.（2）互素；如果两个整数与没有共同的素因数，则称与互素，记为（，）=1.（3）设a为大于1的整数，则a的大于1的最小因数一定是素数.（4）设a为大于1的整数，若对所有不大于的素数，有？（表示a不被整除），则a是素数.2.整数的奇偶性（1）能被2整除的数称偶数，可表示为的形式；不能被2整除的数称为奇数，可表示为的形式.（2）奇数与偶数的性质：奇数偶数；奇数个奇数之和为奇数，偶数个
2、奇数之和这偶数，奇数加偶数为奇数，偶数加偶数为偶数；两数和与两数差的奇偶性相同；积为奇数的充要条件是各个因数均为奇数；偶数与任何整数的乘积都为偶数；个偶数的积为的倍数.3. 带余除法若是两个整数，则一定有且只有两个整数，使得成立. 时，称整除，记作.（1）若两个整数与被除的余数相同，则，则与被除的余数相同；（2）n个连续整数中有且仅有一个是n的倍数；（3）设b是整数，则任意个整数中，至少有两个数被b除的余数相同.4. 整除的性质设为的最大公因数，记为的最小公倍数，记为，整除有以下性质；（1）若；（2）若；（3）若（4）若（5）若（6）若（7）若；（8）若则；（9）若且是的公因数，则（10）；（
3、11）；（12）若为素数，例1.证明：对于任何自然数,数都不能分解成若干个连续的正整数之积.例2. 设是1，2，7的一个排列，求证： 必是偶数.例3. 若三个大于3的素数满足关系式例4. 试求出所有的正整数，其中的因数.例5. 设是正整数，能被24整除，求所有这样的的个数.二、同余定义设是一个给定的正整数，如果两个整数除所得的余数相同，则称对模同余，记为同余的基本性质（1）反身性：.（2）对称性：若，则.（3）传递性：若.（4）若（5）若（6）若.（7）若（8）若（9）若（10）完全平方数模4同余于0或1；模8同余于0，1或4；模3同余于0或1；模5同余于0，1或-1，完全立方数模9同余于0，
4、1或-1，整数的四次方模16同余于0，1.例1. 求的个位数字是？例2.若，且都是完全平方数，那么必为40的倍数.例3. 设具有下列两条性质；（1）对任何恒有（2）.证明：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数字的平方和为一个定值.例4. 写出所有的由3个素数组成公差为8的等差数列.三、抽屉原理抽屉原理又称为鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法.定理1 把个元素分成n个集合，其中必有一个集合至少含有个元素.定理1还有无限形式，但不管是有限还是无限形式，我们考虑的总是元素多的集合，其实元素少的集合有时也很有用，所以抽屉原理还有另一种形式；定理2 把个元素分成n个集合，其中
5、必有一个集合至多含有个元素.我们将从数论、集合、几何、三角不等式证明等来说明抽屉原理的应用.利用抽屉原理解题，关键是构造合适的抽屉.例1. 设为无理数.证明：对任意的正整数n，存在整数，满足例2. 求所有的正整数n，使得集合的任意35元子集至少存在两个不同的元素a.b满足例3. 设有六个点，每两点之间用红色或蓝色线段相连，且任意三点不共线，求证：总可以找到三个点，以这三点构成的三角形的三边涂有相同的颜色.例4. 在中，求证：变式：在中，求证：四、客斥原理客斥原理，又称为包容排斥原理或逐步淘汰原理.顾名思义，即先计算一个较大集合的元素的个数，再把多计算的那一部分去掉.它由英国数学家J.J.西尔维
6、斯特首先创立.当是有限集合A的一个分划，即这时我们有这实际上是组合计数中的加法原理.但当时，又该如何计数呢？这就有下面的所谓的容斥原理.容斥原理设为集合A的有限子集，其元素个数分别为，则由集合知识，有从而容斥原理还有另一种表现形式容斥原理可用数学归纳法证明.对于n=2的情形，可以用组合恒等式证明中的“贡献法”来证明。所谓贡献法，就是要计算可以考虑所有元素对的贡献；如果，则x对的贡献为1，否则贡献为0，这样只要考虑每个元素对等式的左右两端的贡献是否相等.容斥原理是解决有限集合计数问题的重要原理之一，也常常用在重复组合、不定方程的解、错位排列、禁位排列等计数问题上.用容斥原理解决这些问题的关键是用
7、集合语言或符号语言将所要解决的问题表示出来.例1. 用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成比20000大并且百位数不是3的没有重复数字的五位数的个数.例2. 从自然数列1，2，3，4，5，中依次划去3的倍数和4的倍数，但是其中凡是5的倍数均保留. 划完后剩下的数依次构成一个新的数列：求例3. 在一次数学演讲中，有5个数学家打瞌睡.每人恰好睡了两次.每两个人都在某时刻同时瞅着了. 求证：一定存在某个时刻有三个人同时睡着了.例4. 求满足的方程的整数解的个数.例5. 的一个错位排列是的一个排列，使得.用表示的错位排列的个数.证明：例6. 有8个孩子坐在旋转木马上，如果让他们交换位置，使得每一个孩
8、子的前边都不是原来在他前面的那个孩子，问有多少种不同的方法？五、圆的有关定理圆中的相关知识主要有：1. 圆的对称性，垂径定理；2. 与圆有关的角；圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角.3. 切线的判定与性质；4. 圆幂定理；5. 正弦定理以及在其后几节中出现的许多定理.圆中的基本问题：1. 证明角相等或计算角度、弧长；2. 证明线段相等或线段成比例或计算线段长度、图形面积；3. 证明图形相似；4. 证明各个几何图形的位置关系（如共线，共点，共圆，平行，垂直等）.解决这些基本问题的常用方法，通常是：（1）可以通过证明三角形全等或相信；（2）可以利用圆周角、弦切角等与圆有关的角的关系进行转化；（
9、3）可以利用圆幂定理；（4）转化为三角计算.例1. 如图27-1，设I为的内心，射线AI，BI，CI分别交的外接圆于点D，E，F，求证：例2. 如图27-2，过外一点P作的一条切线PC和一条割线PAB，已知这两条线均在PO的同一侧，Q为C在PO上的射影，求证：QC平分例3. 如图27-5，切正三角形ABC的边BC于点D，分别交边AB于点M，交边AC于点P，Q，求证：BD+AM+AN=CD+AP+AQ.例4. 如图27-6，P为外的一点，作的两条切线PA，PB与任一割线PCD，证明：（1） （2）例5. 如图27-13，与相交于A，B两点，的一条弦CD切于点E，且AE与切于点A，求证：.例6.
10、如图27-16，的两条弦AC，BD交于点K，设M，N分别为的外心，证明：四边形OMKN是平行四边形.例7. 如图27-18，半圆的直径为AB，C为OB上一点，过点C且垂直于AB的直线交半圆于点D，与半圆内切于点F，与CD切于点E，与CB切于点G. 证明为等腰三角形.例8. 如图27-19，中，D为BC中点，点M在边BC上，且满足，若的外接圆与AB的另一交点为K，的外接圆与边AC的另一交点为L，求证：六、共圆如果有四点或四个以上的点在同一个圆上，就是共圆问题.点共圆问题出现的形式一般有两种；一是以点共圆作为证题目的；二是以点共圆作为解题手段，即作出辅助圆来汇聚条件、揭露隐含、转化所证结论的作用.
11、证明四点共圆的常用方法1. 注意圆的定义；证明几个点与某个定点距离相等；2. 如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；3. 证明凸四边形有一组对角互补（或外角等内对角）.4. 证明这四点可以满足圆幂定理（相交弦定理、割线定理、切割线定理的逆定理）.5. 其他方法共圆的作用；1.利用多点共圆找出角度或者是三角形边长之间的等量关系；（证角相等、垂直、线段相等）2.利用四点共圆证明多点共圆.例1. 如图28-1，设圆和圆相交于点M和P，圆的弦MA和圆相切于点M，圆的弦于圆相切于点M，在直线MP上截取PH=MP. 证明：M，A，H，B四点共圆.例2. 在锐角中，M，N分别是高线的中
12、点，AM与，AN与分别交于点P，Q.证明：（1）M，N，P，Q四点共圆；（2）若B，C，P，Q四点共圆，则是等腰三角形.例3. 在ABC中，交AC于D，如图28-10，CP垂直BD，垂足为P，AQ垂直BP，Q为垂足，M是AC中点，E是BC中点. 若的外接圆O与AC的另一个交点为H. 求证：O，H，E，M四点共圆.例4. 如图13，在圆内接中，AB=AC，经过A任作二弦AE，AQ且AE交直线BC于D，AQ交直线CB于P. 求证：P，Q，D，E四点共圆.例5. 如图28-17，给定凸四边形ABCD，P是平面上的动点，令.求证：当达到最小值时，P，A，B，C四点共圆.例6. 如图28-19，已知D，
13、E，F分别是三边AB，BC，CA上的点，且AD=AF，BD=BE，DE=DF.设I是的内心，过点A作外接圆的切线与BI交于点K，若AK=AD，证明：AK=EK.例7. （九点圆定理）三角形三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连结线段的中点，这九点共圆.已知：在中，H是垂心，L，M，N分别为BC，CA，AB的中点，D，E，F分别是三高之垂足，P，Q，R分别是AH，BH，CH的中点，求证：L，M，N，D，E，F，P，Q，R九点共圆.七、共线点与共点线（一）点共线共线，指的三个及以上的点在同一条直线上. 多点共线可化归为三点共线问题. 证明三点A、B、C共线的方法很多，常从以下几个方面考虑：1. 从角考虑：如图29-1，设B在线段XY上，证明（对顶角相等的逆定理）.而在图29-2中，应改为证明.2. 从线考虑：证明AB，AC与同一条直线平行（或垂直）；或证明AB+BC=AC.3. 从有关结论考虑：梅涅劳斯（Menelaus）定理、Simson线等；4. 从形考虑：证A，B，C三点所成的三角形面积为零；可利用位似；5. 从方法上考虑；可考虑反证法、同一法、解析法等.（二）线共点共点，指n条（）直线经过同一点.多直
