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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date电动力学2教案电动力学2教案第二章 静电场本章主要研究静电场的一些求解方法。由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，因此一般都是采用引入电势来求解。因此，本章首先引进静电场的标量势函数电势并讨论电势的一些基本特性。然后讨论静电势方程的几种求解方法分离变量法、镜象法、格林函数法以及电荷在小区域分布时的近似求解方法。静电场的基本特点静电场：静止电荷产生的磁场；特点：，静
2、电场可单独存在。等均与t无关 不考虑永久磁体（）基本方程： , ；边值关系：, 。 求介质分界面上的束缚电荷用： 则电磁性质方程： 均匀各向同性线性介质： 静电平衡时的导体：导体内部： 。外部表面：电荷分布在表面上，电场处处垂直于导体表面。2.1 静电势及其微分方程一 静电场的标势1静电势的引入：因为静电场为无旋场,即，所以可以引入标量函数，引入后 静电场标势（简称电势）。 的选择不唯一，相差一个常数，只要知道即可确定 取负号是为了与电磁学讨论一致 满足迭加原理二 静电势的微分方程和边值关系 1满足的方程泊松方程： 其中仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。导出过程： 拉普拉斯方程：
3、（适用于的区域 ）。2边值关系（S为分界面）（ 由12）(1) 两介质交接面上边值关系 证明：（a） PQ 积分为零，所以 即。（b） （为自由面电荷分布）由 （1） 导体表面上的边值关系由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系：三静电场的能量1 一般方程： 能量密度 （均匀各向同性线性介质） 总能量 2 若已知 总能量为 ，但不代表能量密度。导出过程：，该公式只适合于静电场情况，能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。2. 2 唯一性定理一 泊松方程和边界条件VS假定所研究的区域为V
4、，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。设V内所求电势为，它们满足泊松方程泊松方程或拉普拉斯方程（区域）的解有多种形式，要确定且唯一确定V内电场，必须给出边界条件。在数学上这称为给定边值条件的求解问题：一般边界条件有两类： 边界S上，为已知，若为导体= 常数为已知。 边界S上，为已知，若是导体要给定总电荷Q。它相当于给定（）。内边界条件由 边值关系给出： 法线方向，在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体上下边界条件为外边界条件。对于V内两介质分界面上。二 唯一性定理1均匀单一介质当区域内分布已知，满足，若V边界上已知，或V边界上已
5、知，则V内场（静电场）唯一确定。1 介质分区均匀（不包含导体）V内已知， 成立，给定区域或Q1Q2在分界面上，或则V内场唯一确定。（证明见书P60）2 均匀单一介质中有导体（证明见书P62）导体中，要求的是内的场。QSS当和，已知或，（，）为已知，则内场唯一。确定， 或。三 唯一性定理的意义（1） 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求指明了方向。（2） 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，我们可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是提出尝试解，只要满足方程和边界条件即为所求的解，
6、若不满足，可以加以修改。四 应用举例1两种均匀介质（和）充满空间，一半径a的带电Q导体球放在介质分界面上（球心在界面上），求空间电势分布。解：外边界为无穷远，电荷分布在有限远导体上Q给定，所以球外场唯一确定对称性分析：若，则（回到上例结果）。若，从直观看似乎不再具有球对称性，而是具有轴对称。但是实际情况并非如此。由于无论在介质1还是介质2，导体外表面电场均与表面垂直，因此在P点必然与重合，所以介质分界面上，而。在介质分界面上：所以没有束缚电荷分布，束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。而在介质分界面上，所以可考虑球外电场仍具有
7、球对称性。设试探解：确定常数：在介质分界面上 下半空间上半空间导体球面上面电荷分布： 下半球面上均匀分布 上半球面上均匀分布束缚电荷分布： 从这里可以看出，电荷在整个球面上是不均匀分布的。这种非均匀分布造成场的均匀分布。从物理机制看：当导体放入介质时，一开始均匀分布，产生的场是非球对称场，它在介质中产生束缚电荷，束缚电荷也产生一个场，但总场不满足静电场唯一性定理，因此导体表面电荷要重新分布。达到静电平衡时，球外场均匀分布，满足唯一性定理，这时电荷分布不再是均匀的。2. 3 拉普拉斯方程的解分离变量法一 拉普拉斯方程的适用条件1 空间处处，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为
8、区域边界，可以用拉普拉斯方程。2 在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势为已知。 若所求区域为单一均匀介质，则介质中电势为真空中电势 。 若所求区域为分区均匀介质，则不同介质交界面上有束缚面电荷。则区域V中电势可表示为两部分的和 不满足，但使满足，仍可用拉普拉斯方程求解。但注意，边值关系还要用而不能用。二 解题步骤1 选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状参考点主要根据电荷分布是有限还是无限2 分析对称性，分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解3 根据具体条件确定常数（1） 外边界条件： 电荷分布有限 边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为
9、外边界，给定，或给定总电荷Q，或给定（接地 ）电荷分布无限，一般在均匀场中， （直角坐标或柱坐标）xyOV（2） 内部边值关系：介质分界面上 表面无自由电荷。应用实例（习题课）1 两无限大平行导体板，相距为，两板间电势差为V(与无关)，一板接地，求两板间的电势和解：（1）边界为平面，故应选直角坐标系下板接地 ，为参考点（2）定性分析：由于在处，常数，可考虑与无关。（3） 列出方程并给出解：在区域，（4） 方程的解：（5）定常数： (6) 结果： 显然满足和边界条件 常数，均匀场2半径a，带有均匀电荷分布的无限长圆柱导体，求导体柱外空间的电势和电场。xyzor解：电荷分布在无限远，电势零点应选在
10、有限区域，为简单可选在导体面r = a处（即）。选柱坐标系：对称性分析： 导体为圆柱，柱上电荷均匀分布，一定与无关。 柱外无电荷，电力线从面上发出后，不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿方向，可认为与z无关， 当r = a时， 则 不选择零点也不影响求场。常数C的确定： 若选 则 （）电场： xyzO在表面上 3一半径为a，介电常数为的无限长电介质圆柱，柱轴沿方向，沿方向上有一外加均匀电场，求空间电势分布和柱面上的束缚电荷分布。解：（1）边界为柱面选柱坐标系均匀场电势在无穷远处不为零，故参考点选在有限区域，例如可选在坐标原点常数（或0）（2）考虑对称性电势与z无关，设柱内电势
11、为，柱外为它们分别满足 。 解为：（3）确定常数 因为有外加均匀场，它们对x轴对称，可考虑、也相对x轴对称（为偶函数），所以、中不应包含项，故：均为零。 常数（或零），有限，故中不应有项，（均匀场电势），因此中不应有方项（）（即得） 时，两边为任意值，前系数应相等（）（4）解为 （5）求柱内电场： 仍沿x方向 这是因为介质极化，束缚电荷主生的场与反向（6）柱面上束缚面电荷分布由 两边为任意值，前系数应相等（）（4）解为 （5）求柱内电场： 仍沿x方向 这是因为介质极化，束缚电荷主生的场与反向（6）柱面上束缚面电荷分布由 （或常数）（7）若圆柱为导体，可采用上述方法重新求解，或令4如图所示的导体
12、球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，求空间各点的电势及球壳内外面上的感应电荷。解：（1）边界为球形，选球坐标系电荷分布在有限区，选（2）设壳外为2区，球壳内为1区，球外（若将Q移到壳上，球接地为书中P67例题），球壳内 电荷在球上均匀分布，场具有球对称性，与无关，（3）确定常数 导体壳为等势体 在导体壳上 即设内壳 外壳 （4）解 （5）球壳上的感应电荷壳外面 壳内面 以一结果均与高斯定理求解一致。2. 4 电象法QQ一 电象法的概念和适用条件1 求解泊松方程的难度区域无分布，适用。对直角坐标无对称性，用球坐标具有轴对称，但边界为平面区域有自由电荷，适用，但求解很困难。导体球 导体板（导体表示电
13、荷分布是不均匀的）在许多特殊情况下可采用迭加法求解（如上节例6），对于空间存在点电荷的情况，原则上也能够求解（习题2）。还有一些例子也可采用该方法来求，但求解不是难度极大，就是解不出来（如导体板情况）。因为前面讲的实例大多是分界面电荷均匀分布，而许多情况分界面上电荷是非均匀分布的，造成场对称性很差。2 唯一性定理保证下的不择手段从物理上考虑，在唯一性定理保证下，可以采用试探解的方法。特别是对于自由电荷仅为点电荷时，导体面上感应电荷分布可以等效地看作一个或几个点电荷。3 电象法概念、条件（1） 电象法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。（2） 条件：a）所求区域内只能有少许几个点电荷。（只有点电荷产生的感应电荷才能用点电荷代替。）b）导体边界面形状规则，具有一定对称性。c）给定边界条件。要求：a）做替代时，不能改变原有电荷分布（即自由点电荷位置、Q大小不能变）。泊松方程不能改变。所以假想电荷必须放在所求区域之外。b）不能改变原有边界条件，通过边界条件确定假想电荷的大小和位置。c）一旦用了假想等效电荷，不能再考虑边界面上的电荷分布。d）坐标系选择仍然根据边界形状来定
