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1、立体几何中的数量问题二. 重点、难点：1. 角度（1）两条异面直线所成角（2）直线与平面所成角（3）二面角2. 距离（1）作垂线 （2）体积转化【典型例题】例1 PA、PB、PC两两垂直，与PA、PB所成角为45，60，求与PC所成角。解：构造长方体 例2 正四棱锥SABCD中，AB=，SA=，M为SA中点，N为SC中点。（1）求BN，DM所成角的余弦值；（2）P、Q在SB、CA上，求PQ与底面ABCD所成角的正切值。解：（1）MEFDH为SN中点 异面直线MD、BN所成角的余弦值为（2）过P作PH/SO交BD于H PH面ABCD PQH为PQ与底面所成角 例3 SA面ABC，ABBC，DE在
2、面SAC内，垂直平分SC，交SC、AC于E、D，若SA=AB=1，BC=，求二面角（1）BSCA的余弦值；（2）EBDC。解：（1）面DEB DEB为二面角ASCB的平面角面SAC EDC为二面角CBDE的平面角 AB=SA=1 AC= SC=2 BE=1 DE= CD= 例4 正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=1，求：（1）D到面D1AC的距离；（2）C到面AB1D1的距离；（3）M为BB1中点，M到面D1AC的距离；（4）AC1与BB1的距离解：（1）连BDAC=E过D作DFD1E于F， DF为距离 （2）设C到面AB1D1的距离为h （3）连DM交D1E于H，设M到面D1AC距离为
3、 （4）例5 四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，BAD=60，PB=PD，PA=PC=，求：（1）B到面PAD的距离；（2）BC与PA的距离；（3）AC与PD的距离。解：（1）ACBD=H，连PHBF为所求PA=，AH，PH，PB=2 BE=DE=，BD=2 BF= 另 （2）（BC，面PAD）=（B，面PAD）=（3）过H作HMPD于M为公垂线例6 直二面角，AB，AB与所成角为，AB与所成角为，求证：。证明：过A作AC于C，过B作BD于D AC BD BAD= ABC= 当且仅当C、D重合时，例7 如图所示，已知直线AB平面，线段BC，CDBC且CD与平面成30的角，设AB=
4、BC=CD=2，CE是CD在平面内的射影。（1）求证：AD与BC是异面直线；（2）求AC与DE之间距离；（3）求AD与BC所成角的度数。解析：（1）证明：假设AD与BC在同一个平面内， AB，BC ABBC，又CDBC， AB/CD， CD，这与CD与成30角矛盾 AD与BC是异面直线（2） CE是CD在平面内的射影 DE，从而DECE由BCCD得BCCE，由AB，CE得CEAB CE平面ABC，AC平面ABC CEAC CE是AC与DE的公垂线，CD=2，DCE=30 CE=（3）延长DE到F，使EF=DE，则DFAB连接BF，则BFAD FBC是AD与BC所成的角 FBC=45例8 如图所
5、示，四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，SBA=45，SBC=60，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正切值。解析：（1） CSSB，CSSA SC平面SAB BC在平面SAB上的射影为SB SBC为SB与平面SAB所成的角，又SBC=60故BC与平面SAB所成的角为60（2）连结MC，在中，SBA=45 SMAB 又ABSC AB面SMC 面SMC面ABC过点S作SOMC于点O SO面ABC SCM为SC与平面ABC所成的角设SB=，则SM=，在SBC中，SC=SBtan60= 例9 如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB/D
6、C，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PAD面PCD；（2）求AC与PB所成的角余弦值；（3）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。解析：（1）证明： PA面ABCD，CDAD 由三垂线定理得：CDPA因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直 CD面PAD 又CD面PCD 面PAD面PCD（2）过点B作BE/CA，且BE=CA，则PBE是AC与PB所成的角（或为其补角）连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2所以四边形ACBE为正方形，由PA面ABCD得PEB=90在中，BE=，PB= AC与PB所成角的余弦值为（
7、3）作ANCM，垂足为N，连结BN在中，AM=MB，又AC=CB AMCBMC BNCM，且BN=AN，故ANB为所求二面角的平面角 CBAC，由三垂线定理，得CBPC在中，CM=MB，所以CM=AM在等腰三角形AMC中， AB=2 故所求二面角余弦值为例10 如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=，M，N分别为AB，SB的中点。（1）证明：ACSB；（2）求二面角NCMB的正切值；（3）求点B到平面CMN的距离。解析：（1）取AC中点D，连结SD，DB， SA=SC，AB=BC ACSD且ACBD AC平面SDB，又SB平面SDB ACSB（
8、2） AC平面SDB，AC平面ABC 平面SB平面ABC，过N作NEDB于E，则NE平面ABC；过E作EFCM于F，连结NF，则NFCM NFE为二面角NCMB的平面角 平面SAC平面ABC，SDAC SD平面ABC又 NE平面ABC NE/SD SN=NB ，且ED=EB在正ABC中，由平面几何知识可求得EF=MB=在中，（3）在中， ，设点B到平面CMN的距离为 ，NE平面CMB 即点B到平面CMN的距离为例11 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，E，F分别是BB1、CD的中点。（1）求证：ADD1F；（2）求AE与D1F所成角的大小；（3）求点F到平面A1D1E的距离。解
9、析：（1）证明： ABCDA1B1C1D1为正方体 AD平面D1DCC1 D1F平面D1DCC1 ADD1F（2）取AB的中点G，连结FG，AG，A1G与AE交于点M F为DC的中点 FG/AD，且FG=AD FG/A1D1，且FG=A1D1 四边形A1GFD1为平行四边形，GA1/D1F，A1G=D1F A1G与AE所成的角就是AE与D1F所成的角在正方形A1ABB1中，G、E分别为AB，BB1的中点 A1AGABE，AA1G=BAE AMA1=90 AE与D1F所成的角为90（3）在（2）中已证FG/A1D1 FG/平面A1D1E G点到平面A1D1E的距离就是F点到平面A1D1E的距离过
10、点G作GHA1E于点H，连结EG A1D1平面A1ABB1 A1D1GH GH平面A1D1E GH为所求距离 ，即F点到平面A1D1E的距离为例12 如图，为60的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在上，且MP与所成的角等于NP与所成的角。（1）求证：MN分别与、所成角相等；（2）求MN与所成角。（1）证明：作NA于A，MB于B，连接AP、PB、BN、AM，再作AC于C，BD于D，连接NC、MD NA，MB MPB、NPA分别是MP与所成角及NP与所成角 MNB，NMA分别是MN与，所成角 MPB=NPA在RtMPB与RtNPA中，PM=PN，MPB=NPA MPBNPA MB=NA在R
11、tMNB与RtNMA中，MB=NA，MN是公共边 MNBNMA MNB=NMA即（1）结论成立（2）解：设MNB=，MN=，则PB=PN=，MB=NA=，NB= MB，BD， MDB是二面角的平面角 MDB=60，同理NCA=60 BD=AC= MB，MPPN BPPN BPN=90，DPB=CNP BPDPNC 即 整理得， 解得或，或当时，不合理，舍去 MN与所成角为30【模拟试题】（答题时间：60分钟）1. 二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个半平面的二面角必定（ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不能确定2. 已知边长为的菱形ABCD，A=
12、60，将菱形沿对角线BD折成120的二面角，则AC 的长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知二面角为直二面角，A是内一定点，过A作直线AB交于B，若直线AB与二面角的两个半平面所成的两个角分别为40，50，则这样的直线最多有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条4. 三棱锥ABCD中，AB=AC=BC=CD=AD=，要使三棱锥ABCD的体积最大，则二面角BACD的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AC1是正方体，M，N分别是棱A1D1和D1D的中点，过平行线MN与B1C作平面，得到截面MB1CN，设该截面与右侧面CB1C1所成的二面角为，则为（ ）A. 不存在 B. C. D. 6. 已知平面与所成的二面角为80，P为，外一定点，过点P的一条直线与，所成的角都是30，则这样的直线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条7. 已知二面角的大小为60，为异面直线，且，则所成的角为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 1208. 如图，ACB=90，平面ABC外有一点P，PC=4cm，
