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1、累加弦长参数样条曲线给定n个点及对应的法向量，若用多项式拟合，必须求解n+1个线性方程组,计算复杂，并且点越多，次数越高，系数 a ,a , a 越多，物理概念难于理解， 01 n会产生不希望有的波动。因此采用分段低次多项式来拟合曲线。因为分段三次插值能保证位置连续，斜率连续，曲率连续，所以采用三次样条插值，即对于任意两个相邻的点，他们之间的曲线方程为y = a x 3 + a x 2 + ax + a。0123然而，对于x不满足x x x (例如当曲线绕回或打圈时)，函数会出01n现多值，使问题复杂化。特别是，.三次样条是模拟小挠度的弹性梁的形变而得到 的数学工具。对于大挠度曲线，即有近于垂
2、直切线的曲线(无论是平面曲线或空 间曲线)，采用三次样条插值的效果不好，会产生剧烈的波动，因为它违背了小 挠度的假定。此外，它还有一个严重的缺点，就是用三次样条函数表示的插值曲 线，依赖于坐标系的选择，缺乏几何不变性，与曲线的几何特征相脱节。因此我 们采用累加弦长参数样条曲线。与点对应的累加弦长为：s = 00)2 +斗(x2 - xi)2 + (y2 -人)2S1 = 11 S(xi - x0)2 + (yi-y0)2S2 = l1 + l2 7xi - x0)2 + (厂 y工1 =X| p p Iii-1 ii=1i=1分别作插值函数x = x(s)它们有 x(s ) = x ，iiy
3、= y(s)y (s ) = y,在s , s 上二次连续可导，都是s的分段三次 i i0 n多项式。在得到两个插值函数之后即可对任一 s值插值得出相应的x值与y值,从而构造出一条插位点列p (x , y )的曲线，由于x = x(s)与y = y(s)都是二阶连续i i i 的三次样条曲线，因此，所得到的参数样条曲线也是二阶连续的，具有连续的斜 率与曲率。对于端点条件的换算，已知曲线的斜率值，换算成对s的求导，y = dy = y， dx x 因此 1 + y S = 1 +12 =丄x 2x 2x 2y 2 =1+ys特别当曲线端点有垂直切线时，由于y = 2 = 8，因此x = 0 ,
4、y = 1，当曲x线端点有水平切线时，x = 1, y = 0。推广到任意坐标系 要使得在平面上任意一条曲线都能采用累加弦长参数样条拟合，则可对直角坐标系做平移与旋转变换，如图。已知光源点S,曲线上的两点A, B，求曲线在XOY 坐标系上的方程。思路：1、根据光源点S，曲线上的两点A,B确定另一个焦点T2、由S与T确定新的坐标系XOYr，得到转移矩阵C3、求出A,B点在XOYf下的坐标与法向量4、将XOY下的坐标用XOY下的坐标表示，得到XOY坐标下的方程。确定焦点的方法已知曲线为椭圆曲线，已知光源与两点及两点的法向量，求曲线的另一个焦 向量做轴对称得到SS，连接AS，对B进行同样的变换，连接
5、BS，然后解方程 组求得焦点。点，可以采用如下方法。因为该点的法向量是由光源与另一个焦点确定的，因此可以对S根据A的法-2JLJ/BL rr/JVy0/rX/1 1 1III 1 ij纟1 1 1 1 1Ji 1 1 i 111 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 11 1III ll-Q.5-1 1 1 1 II1 Y1 1 1 11 1 1 1 1 11 lllll1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1求转移矩阵将XOY平移（x , y ），再旋转0之后，原坐标（x,y）变成（x, y），转移公式为 00x = x cos0 一 y sin0 + x 0y = x sin 0 + y cos0 + y0同理，（x, y）变成（x, y）的转移公式为x = （x 一 x ）cos 0 + （y 一 y ）sin 0 0 0y = -（x 一 x ）sin 0 + （y 一 y ）cos 000
