二项式定理1 .二项式定理：(a b)n C0an C：an1b L C；an rbr L C：bn(n N),2 .基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做 (a b)n的二项展开式②二项式系数：展开式中各项的系数 C； (r 0,1,2, ,n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第 r 1项C：an rbr叫做二项式展开式的通项用 1 1 C；an rbr表示3 .注意关键点：①项数：展开式中总共有 (n 1)项②顺序：注意正确选择 a, b,其顺序不能更改a b)n与(b a)n是不同的③指数：a的指数从n逐项减到0,是降哥排列b的指数从0逐项减到n ,是升哥排列各项的 次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 C；,C：,C：, ,Cnr, ,Cn.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)4 .常用的结论：令 a 1 b x (1 x)n C0 C1x c2x2 I crxr I Cnxn(n n )a i,u x, (I X) C n C n X C n X L C n X L C n X (n N )令 a 1,b x, (1 X)n Cn0 C：x c2x2 L C：x「L ( 1)nC：Xn(n N )5 .性质：①二项式系数的对称性： 与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等， 即C0 Cn , • • • Cnk Cn 1②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为 C0 cn C： L C； L C； 2n ,变形式 C： c2 L Cnr L Cn 2n 1。
③奇数项的二项式系数和 二偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a 1,b 1,则 C0 Cn C； C； L ( 1)nC； (1 1)n 0,H TTFf7 曰不【I . c 0 c 2 c 4 c 2 r c 1 c 3 I c 2r 1 1 nn cn1从叩倚到：Cn Cn Cn Cn Cn Cn L Cn _2 22④奇数项的系数和与偶数项的系数和：(a（x令令n x) 、n a)1,C0anxC0a则1,则aao②得，a②得,a1aia2a3Cnan 1xC：axn1a2a2a4 La5 La3La3anC；an 2x2c2 2Cna xanan(an 0L Cn a xL Cnanx1)n(a 1)n(a 1)n (a 1)n2(a 1)n (a 1)n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的哥指数如果二项式的哥指数取得最大值n anxiaix（奇数项的系数和（偶数项的系数和2a2x2 a?xL1a1xn是偶数时，则中间一项的二项式系数n是奇数时，则中间两项的二项式系数nanxanCn2取得最大值Cn2 , Cn2 同时⑥系数的最大项：求（a bx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别为 Al,A2, ,An灰 ………Ar1 ,设第r 1项系数最大，应有AAr,从而解出r来Ar 26.二项式定理的十一种考题的解法:题型一：二项式定理的逆用;例:C： C2 6 c3 62 L Cn解:(1 6)n C0CnCn62C3 63 L Cn 6n与已知的有一些差距,练:解:cn c：Jc：6_ 1 _ 2Cn 3Cn设SnCnCn3SnSn(1C362CnC2626n 1 1(C； 6 C" 626n n 1 nCn 6 1) -[(1 6)6L Cn 6n)9C33C2C：323)n 1 3题型二：利用通项公式求例：在二项式（4n 1 n3 Cn9C3 L 3n (二 则C333 L Cn 3nCn C：3 C：32C333 L Cn3n 1 (1 3)n 1xn的系数;x 3/x2）n的展开式中倒数第3项的系数为45,-. 3求含有x的项的系数?解：由条件知Cn 2 45,即C2 45, n2n 90 0,解得n 9（舍去）或n 10,由Tr 1 C；0(x 4)10 r(x3)r C；0x10 r~4~23r 4 510 r 2,由题忌 r4 33,解得r 6则含有x3的项是第7项丁6 1Cox33210x3,系数为 210 。
练：求(x2 2)9展开式中x2x的系数?解：Tr 1 C；(x2)9,( —)r2x1 Q故x9的系数为C；( -)32题型三：利用通项公式求常数项;—r 18 2r ,C9 x (2102例:解:练:解:练:解:1、r r — r , 1、r 18 3r一) x C9( —) x ,2 2令 18 3r9,则 r 32 1 10 求一项式(x —=)的展开式中的常数项?2 .xTr 1 CMx2)10 rr51 20 _rC1r0(-)rx 2 ,令 2028 ,所以T9一，、 1 求一项式(2x——)6的展开式中的常数项?2x— —r 6 r r , 1、rJ CM)( 1) 女)(1)rC6r26「(1)，62r，令 62r0,得r— 3 _ 3T4 ( 1) C6 20若(x2 1)n的二项展开式中第 x5项为常数项，则nT5 C：(x2)n4(1)4 C：x2nx12,令 2n12 0 ,得 n 6.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式(& 3/xj9展开式中的有理项?解：Tr 1 C；(xT r( x3)r27 r(1)(｝丁令午Z,(0所以当r 3时,, 一， 27当r 9时，27-6276 r题型五：奇数项的二项式系数和例：若(.x2解：设(. x2— 3 _ 3 4 44」(1) C9x 84x ,=偶数项的二项式系数和;n展开式中偶数项系数和为 256,求n .n展开式中各项系数依次设为 a0,a1, an,令x 1,则有 a。
ai an 0,①，令 x 1,则有 a ai a2 a3 （ 1）nan 2n,②将①-②得:2（ai a3 % ） 2n, ai a3 a5 2n 1,有题意得，2n 1 256 28, n 9练：若 * ，x2）n的展开式中，所有的奇数项的系数和为 1024,求它的中间项高双. °\ c 0 c 2 c 4 c 2 r c 1 c 3 I c2r 1 cn1 cn1 dCC/l 右力/日 A A为牛，Q C n C n C n Cn Cn C n L Cn 2 , 2 1024 ,短牛4寸 n 11所以中间两个项分别为 n 6,n 7, T51 比巾飞工） 462 x 4, T6 1 462 x*题型六：最大系数，最大项；1例：已知（—2x）n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二 2项式系数最大项的系数是多少？解：QC4 C6 2C5, n2 21n 98 0,解出n 7或n 14,当n 7时，展开式中二项式系数1 35 1最大的项是丁4和丁5 丁4的系数 C73（1）423 35,, T5的系数 C74（-）324 70,当n 142 2 2时，展开式中二项式系数最大的项是 T8, T8的系数 C74（1）727 3432。
2练：在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的哥指数是偶数 2n,则中间一项的二项式系数最大，即 T2n Tn 1 ,也就是第n 1项一 1 2x 1 n练：在（一 百二）的展开式中，只有第 5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？2 3x解：只有第5项的二项式最大，则 n 1 5 ,即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于2C86（1）2 72例：写出在（a b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的哥指数 7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4 C3a4b3的系数最小，T5 C；a3b4系数最大例：若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求（1 2x）n的展开式中系数最大的项？2I I解：由 Cn Cn Cn 79,解出 n 12,假设 Tr1 项最大，Q （— 2x） （-） （1 4x）2 2Ar 1 A C；2 4r Ci214r 1 八〜… 八r 1 12 1 1 ,化简得到 9.4 r 10.4,又 Q0 r 12, r 10,Ar 1 Ar 2 C；24r C1214r 11展开式中系数最大的项为 T11，有T11 (1)12C1120410x10 16896x102练：在(1 2x)10的展开式中系数最大的项是多少?解：假设Tr 1项最大，QTr 1 C；o 2rxrAr 1ArArAr 2r r r 1 r 1C102 C10 2 解得 2(11C；0 2r C；。
12r 1, r 1r) r) ,化简得到6.32(10 r)k 7.3,又Q0 r 10, r 7,展开式中系数最大的项为 丁8 Cw27x7 15360x7.题型七：含有三项变两项；例：求当(x2 3x 2)5的展开式中x的一次项的系数？解法①:2_ _5 2__5_ _ r 2(x 3x 2) [(x 2) 3x] , Tr 1 C5(x_ 5 r _ r2) (3x),当且仅当r1时,Tr 1的展开式中才有x的一次项，此时Tr1 T21.2 4 1 4 _4_C5(x 2) 3x ,所以x得一次项为C5c4 2 3x它的系数为C5c44243 240 o解法②：(x2 3x 2)5 (x 1)5( x 2)5 (C；x5 C5x4Cs)(C5)x5 C5x42C525)故展开式中含x的项为C；xC；25 C；x24240x ,故展开式中x的系数为240.练：求式子(x3 一・--2)的常数项?解：(xx 2)3(烟卡)6 ,设第r1项为常数项，则3 _ 3T31 ( 1) C620 .— _r r 6 r 1 r 6 . r 6 2r。