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1、选修2-2第1章导数及其应用1.3.2导数在研究函数中的应用之(二)第1课时(总第54教案)极值点、【教学目的】1、理解极大值、极小值的概念。2、能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值。 3、掌握求可导函数的极值的步骤。、【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤。【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤。三、【知识要点】1、观察右图，图像在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降” 即函数由单调递增变为单调递减。这时在点P附近，点P的位置 最高，即f (xi)比它附近点的函数值都要大，我们称f (xi)为函 数f (x)的一个极大值。一般地
2、，设函数f(x)在X。附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)Vf(x)，就说f(x0)是 函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x )，x是极大值点。极大值00类似地，图中f (X )为函数的一个极小值。2一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0).就说f (x0)是函 数f(x)的一个极小值，记作y=f(x ),x是极小值点。极小值00函数的极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点X、X称为极值点，极值点是自变量 1 2的值，极值指的是函数值+2、极值点与导数存在怎样的关系?继续观察上图，在函数取得极大值的xi的左侧，函数单
3、调递增，广(x) 0 ；右侧单调递减，广(x) 0 +f(X)二 0f(X) 0 -f ( x)/极大值f (X)类似地，极小值与导数的关系：x= x时取得极大值，必 须代原函数。从表看出XX左侧2X2X右侧2极值处导数均为0,但 极大、极小需看左、右 导数的正负，或曲线走 向观察极值。f( X)f(X) 0 +f ( x)极小值f (X )2/四、【典题互动】例1、求f (x)二x2 - x - 2的极值； 求f (x) = 3 X3 - 4x + 3的极值;问题：请作图表示相应区间上导数的正、负与函数的增、减的关系。 例2、求y二(x2 -1)3 +1的极值.思考：结合本例及y二x3说明，
4、当导数等于0即f (x)=o,能否肯定函数f (x)在x处取得极值?0 0从而进一步理解为何考察f(x ) =0的点x左、右侧f(x)的符号。0 0请判断：“ f(x ) =0”是“ x是f (x)极值点”的必要不充分条件，对吗？0 0例3：判断函数y二x3在x=0处能否取得极值，并写出判断过程。判断函数y =1 ax-b I (a 0)在其定义域内是否存在极值。例4：求函数f (x) = -7的极值求函数y = (x -加x2的极值五、【规律总结】(1) 极值是一个局部概念,由定义极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。(2)
5、极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值。作图示意。(3) 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值 的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。(4) 求极值的具体步骤：第一，求导数f/(x) 第二，令f/(x) =0求方程的根，第三，列表，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值 如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点六、【学效自测】1、如果函数
6、f (x)有极小值f (a)，极大值f (b)，那么f (a) 一定小于f (b)吗？试作图说明。1(2) y = x + x2、求下列函数的极值.(1) y = x 2 一 7 x + 63、根据下列条件大致作出函数的图象 f (4)二 3, f /(4)二 0,当x 0；当x 4时f/(x) 0。课外练习1、函数f (x)二x4 - 2x2有极小值，极大值2、 函数f (x)二x3 3x2 + 7的极大值为。3、 函数f (x)二2x3 3x2 + a的极大值为6,则a=4、函数y = cos 2x在(0,兀)内的极值是。15、 函数y = x3y = tanx x y = 一，其中x=0
7、是极值点的函数个数有个。xbc6、若函数f (x)二ax3 bx2 + cx的图像过点A(1, 4),当x=2时，函数有极值0,则a +石=487、已知f (x)二x3 + 3ax2 + 3(a + 2)x +1有极大值又有极小值，则a的取值范围是8、 函数f (x) = |(ex + e-x)的极小值点x=。9、 函数f (x) = sin(x + ) +兀在区间一兀,兀上的极大值点为。10、三次函数当x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点，则函数是11、设函数y二(ax)3 (ax)2 ax a在x=1处取得极大值，则a= 12、求下列函数的极值。 y = sin 2 x
8、一 x f (x) = 3；x 2( x 5)兀兀( x 2213、13、14、14、15、15、已知函数f (x)二x3 + ax2 + bx + c,当x= 1时，取得极大值7,当x=3时，取得极小值， 求这个极小值及a、b、c的值。判断y = x I x I是否有极值，并写出判断过程。已知函数f (x)二ax3 + bx2 + cx在点x0处取得极小值5,其导函数的图象经过点(1, 0)，(2，0), 如图所示，求(1) x0的值；(2)a, b，c的值。16、16、设函数 f (x)二 x3 + ax2 + bx + c 和 g(x)二 4x2 - 7x + 2满足 f (x)在 x=1 处有极值; 曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2, 4)处有公切线。求a、b、c的值。17、已知函数f (x)二x3 - px2 - qx的图象与x轴相切于(1,0)点，求f (x)的极值。
