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1、第二篇一元函数微积分第二章导数与微分微积分学包含微分学和积分学两部分， 而导数和微分是微分学的核心概念 导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度， 微分则指明了当自变量有微小变化时， 函数大体上变化了多少， 即函数的局部改变量的估值 本章主要讨论导数和微分的概念、 性质以及计算方法和简单应用第 1 节 导数的概念1.1 导数概念的引入1.1.1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程s 与运动时间t的函数关系式记为s s(t ) ，求在 t0时刻时质点的瞬时速度v(t0 ) 为多少？整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的设质点从时刻t0 改
2、变到时刻 t0t ，在时间增量t 内，质点经过的路程为s s(t 0t)s(t0 ) ，在t 时间内的平均速度为vss(t0t) s(t0 ) ，tt当时间增量t 越小时，平均速度 v 越接近于时刻 t0的瞬时速度 v(t0 ) ，于是当t 0时， v 的极限就是质点在时刻t0 时的瞬时速度v(t0 ) ，即v(t0 ) lim vlimslim s(t0t)s(t0 ) t0t 0tt 0t1.1.2平面曲线的切线斜率问题已知曲线 C : yf ( x) ，求曲线 C 上点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的切线斜率欲求曲线 C 上点 M 0 ( x0 , y0 ) 的切线斜率，由切线为割
3、线的极限位置，容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限图 2-11如图 2-1 所示，取曲线 C 上另外一点 M ( x0x, y0y) ，则割线 M 0M 的斜率为kM0 Mtanyf (x0 x)f ( x0 ) xx当点 M 沿曲线 C 趋于 M 0时，即当x0时，M 0M 的极限位置就是曲线C 在点 M 0的切线 M 0T ，此时割线的倾斜角趋于切线的倾斜角，故切线的斜率为k lim tanlimyf ( x0x) f (x0 )xlimx 0x 0x0x前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题，虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际背景，从数学角度看，却有着相同的数学形式，即当自变量的改变量
4、趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限 在自然科学、 社会科学和经济领域中， 许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等 因此，我们舍弃这些问题的实际意义， 抽象出它们数量关系上的共同本质导数1.2 导数的概念1.2.1 函数在一点处的导数定义 1 设函数 yf ( x) 在点 x0 的某领域 U (x0 ,) 内有定义，自变量x 在 x0处取得增量x ，且 x0 x U (x0 ,) 时，函数取得相应的增量yf ( x0x)f (x0 ) ，如果极限limyf (x0x)f ( x0 )limxx 0 xx 0存
5、在，那么称 函数 yf (x) 在点 x0 可导 ，并称此极限值为函数yf ( x) 在点 x0的导数 ，记作 f ( x0 ), ydydf ( x)x x0,dx x x0dx，即xx0f ( x0 )lim f (x0x)f (x0 ) x 0x注：（ 1）由导数的定义可得与其等价的定义形式f ( x0 )lim f ( x)f (x0 ) ；x x0xx0f ( x0 )lim f ( x0h)f ( x0 ) h 0h（ 2 ） 若 极 限 limy 不 存 在 ， 则 称 函 数 yf (x) 在 点 x0 不 可 导 特 别 地 ， 若x 0xlimyyf (x) 在点 x0 的
6、导数为无穷大， 此时 yf (x) 在点 x0 的切线，也可称函数x 0x存在，它是垂直于 x 轴的直线 xx0 2例 1 设 f ( x)1，求 f (3) x解 根据导数的等价定义，可得f (3)limf ( x) f (3)lim111lim11 x 3x 3x 3 x 3 x 3x 3 3x9例 2 设 f (x0 )2 ，求下列极限：（ 1） limf (x03x)f ( x0 ) ；（ 2） limf ( x0h)f ( x0h) x 0xh0h解（ 1） lim f ( x0x 0（ 2） lim f ( x0h0f (x0limh03x)f ( x0 )3limf (x0 3x
7、) f (x0 )3 f( x0 )xx03 xh)f ( x0 h)limf ( x0h)f ( x0 ) f ( x0 )f ( x0hh 0hh)f (x0 )f (x0h)f (x0 )( x0 )4 hlimh2 fh06 h)1.2.2 单侧导数导数是由函数的极限来定义的， 因为极限存在左、 右极限，所以导数也存在左、右导数的定义定义 2 （1）设函数yf (x) 在点 x0 的某左邻域内有定义，当自变量x 在点 x0 左侧取得增量x 时，如果极限limf (x0x)f ( x0 ) 或 limf ( x)f ( x0 ) 存在，则称此极限x 0xxx0xx0值为 yf (x) 在
8、点 x0 的左导数 ，记为 f( x0 ) ，即f( x0 )lim f ( x0x)f ( x0 )limf ( x)f ( x0 ) x0xxx0xx0（ 2）设函数 yf ( x) 在点 x0 的某右邻域内有定义，当自变量x 在点 x0 右侧取得增量x 时，如果极限limf ( x0x)f ( x0 ) 或 limf ( x)f (x0 ) 存在，则称此极限值为x 0xx x0xx0y f ( x) 在点 x0 的右导数 ，记为 f(x0 ) ，即f( x0 )lim f ( x0x)f (x0 )limf ( x)f ( x0 ) x0xxx0xx0由极限存在的充要条件可得函数yf(x
9、) 在点 x0 可导的充要条件如下：定理 1 函数 yf ( x) 在点 x0 可导f (x0 ) 和 f( x0 ) 存在且相等3例 3 研究函数f ( x)x 在点 x0的可导性解 因为 f ( x)x,x0x,x，所以0f(0)limf (x)f (0)x1，x0limxx 0x0f(0)limf ( x)f (0)limx，x01x 0x 0x从而 f (0)f (0) ，因此 f ( x)x 在点 x0 不可导1.2.3 导函数定义 3 （ 1）若函数 yf ( x) 在区间 ( a, b)内每一点均可导， 则称 yf ( x) 在区间 (a,b)内可导；（ 2）若函数 yf ( x) 在区间 (a, b) 内可导，在区间左端点a 的右导数 f (a) 和区间右端点 b 的左导数 f(b) 均存在，则称yf ( x) 在闭区间 a
