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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date数学高二(上)沪教版(平面向量的分解定理与向量的应用)学生版精锐教育班主任必读年 级： 高二 辅导科目： 数学 课时数：3课 题平面向量的分解定理与向量的应用 教学目的1. 了解平面向量基本定理的证明2. 学会用平面内两不共线向量表示平面内任一向量。教学内容【知识梳理】平面向量分解定理：如果是平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使，
2、我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基。证明唯一性：证明：（1）当时，（2）当时，假设，则有=.由于不平行，故，即.注意：（1）基底不共线；（2）将任一向量在给出基底的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，是被，唯一确定的数量。特别：.若，则是三点P、A、B共线的充要条件.注意：起点相同，系数和是1。【典型例题分析】例1、平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，分别用表示和. 变式练习：已知是不平行的两个向量，是实数，且，用表示.例2、证明：菱形对角线互相垂直。 例3、对任意非零向量a、b，求证：|a|b|ab|a|+|b|.例4、已知平行四边形中,、是对角线、上的
3、两点，且，试用向量方法证明四边形也是平行四边形ABCDEFH例5、如图，AD、BE、CF是ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。 变式练习：已知O为ABC所在平面内一点，且满足|2 + |2 = |2 + |2 = |2 + |2，求证：例6、已知向量，是否能以向量为平面内所有向量的一组基底向量？若能，是将用这一基底向量表示出来，若不能，请说明理由。 例7、(1)有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝_方向行驶.(2) .如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.ACW=150， BCW=120，求A和B处所受力的大小.（忽略绳子重量）
4、例8、已知平面向量 证明：； 若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式； 根据（2）的结论，确定函数的单调区间。 变式练习：已知M(1+cos2x，1)，N(1，sin2x+a)(x，aR，a是常数)，且y= (O是坐标原点)求y关于x的函数关系式y=f(x)；若x0，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到 【课堂小练】1、判断下列各题正确与否： 1若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0。 ( ) 2若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0。 ( ) 3若a 0，ab = 0，则b = 0。 ( ) 4若ab =
5、 0，则a 、b至少有一个为零。 ( ) 5若a 0，ab = ac，则b = c。 ( ) 6若ab = ac，则b = c当且仅当a 0时成立。 ( ) 7对任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc)。 ( ) 8对任意向量a，有a2 = |a|2。 ( )2、下列各组向量中，能成为平面内的一组基地向量的是 ( )A、 B、 C、 D、3、已知：|a| =，|b| = 3，a与b夹角为45，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。 4、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，且= 4i + 2j，=3i + 4j， 证明： 5、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与
6、7a - 5b垂直， a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角。 6、a、b为非零向量，当a + tb(tR)的模取最小值时， 1求t的值 2求证：b与a + tb垂直 【课后练习】1、若O是ABC内一点，+=0，则O是ABC的（ ）A.内心B.外心C.垂心D.重心2、如图，正六边形中，有下列四个命题：ABCD其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）3、如图，在中，是边的中点，则_ 4、如图，ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）. 向量章节测试一、选择题1已知,则是三点构成三角形的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
7、 D.既不充分也不必要条件2已知向量，且，则的坐标是 （ ）A. B. C. D. 3，则与的夹角是 （）A. B. C. D. 4在平行四边形中，若，则必有 ( ) A. B. C. 是矩形 D. 是正方形5已知，与的夹角为，则等于 （ ）A. 1B.C. D.16已知下列各式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有 （ ）A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7若 （ ） A. B. C. D. 8已知，则的取值范围是 （ ）A. 3，8 B. （3，8） C. 3，13 D. （3，13）9已知，则等于 （ ）A. 23 B. 35 C. D. 10设，则C、D的坐标分别是
8、（ ） A. B. C. D. 11已知向量且,则=（ ）.A B. C. D. 12已知向量（ ）A30B60C120D15013若，且，则向量与的夹角为( ) A.30 B.60 C.120 D.15014若三点共线，则 （ ）A. B. 3 C. D. 5115已知、均为单位向量，它们的夹角为60，那么 =（ ）. A BC D416已知分别是的边上的中线,且,则为 （ ）A. B. C. D. 二、填空题17若的方向相反，且18化简：（1）_。（2）_。（3）_。19已知向量，且A、B、C三点共线，则k= 20分别是的边的中点，且给出下列命题 其中正确的序号是_。21已知不共线，当_时，共线。22若向量与垂直，与垂直，则非零向量与的夹角是 _.23已知平面上三点A、B、C满足 则的值等于 . 24已知如果与的夹角是钝角，则的取值范围是_。三、解答题25如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示。 26已知向量，求的值.27已知平面向量 证明：； 若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式；28已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在0，上的单调区间.-
