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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date数学高二(上)沪教版(平面向量的分解定理与向量的应用)学生版精锐教育班主任必读年 级: 高二 辅导科目: 数学 课时数:3课 题平面向量的分解定理与向量的应用 教学目的1. 了解平面向量基本定理的证明2. 学会用平面内两不共线向量表示平面内任一向量。教学内容【知识梳理】平面向量分解定理:如果是平面内的两个不平行向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使,
2、我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基。证明唯一性:证明:(1)当时,(2)当时,假设,则有=.由于不平行,故,即.注意:(1)基底不共线;(2)将任一向量在给出基底的条件下进行分解;(3)基底给定时,分解形式唯一,是被,唯一确定的数量。特别:.若,则是三点P、A、B共线的充要条件.注意:起点相同,系数和是1。【典型例题分析】例1、平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且 ,分别用表示和. 变式练习:已知是不平行的两个向量,是实数,且,用表示.例2、证明:菱形对角线互相垂直。 例3、对任意非零向量a、b,求证:|a|b|ab|a|+|b|.例4、已知平行四边形中,、是对角线、上的
3、两点,且,试用向量方法证明四边形也是平行四边形ABCDEFH例5、如图,AD、BE、CF是ABC的三条高,求证:AD、BE、CF相交于一点。 变式练习:已知O为ABC所在平面内一点,且满足|2 + |2 = |2 + |2 = |2 + |2,求证:例6、已知向量,是否能以向量为平面内所有向量的一组基底向量?若能,是将用这一基底向量表示出来,若不能,请说明理由。 例7、(1)有一两岸平行的河流,水速为1,小船的速度为,为使所走路程最短,小船应朝_方向行驶.(2) .如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.ACW=150, BCW=120,求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)
4、例8、已知平面向量 证明:; 若存在不同时为零的实数和,使,且,试求函数关系式; 根据(2)的结论,确定函数的单调区间。 变式练习:已知M(1+cos2x,1),N(1,sin2x+a)(x,aR,a是常数),且y= (O是坐标原点)求y关于x的函数关系式y=f(x);若x0,f(x)的最大值为4,求a的值,并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到 【课堂小练】1、判断下列各题正确与否: 1若a = 0,则对任一向量b,有ab = 0。 ( ) 2若a 0,则对任一非零向量b,有ab 0。 ( ) 3若a 0,ab = 0,则b = 0。 ( ) 4若ab =
5、 0,则a 、b至少有一个为零。 ( ) 5若a 0,ab = ac,则b = c。 ( ) 6若ab = ac,则b = c当且仅当a 0时成立。 ( ) 7对任意向量a、b、c,有(ab)c a(bc)。 ( ) 8对任意向量a,有a2 = |a|2。 ( )2、下列各组向量中,能成为平面内的一组基地向量的是 ( )A、 B、 C、 D、3、已知:|a| =,|b| = 3,a与b夹角为45,求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。 4、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量,且= 4i + 2j,=3i + 4j, 证明: 5、已知a、b都是非零向量,且a + 3b与
6、7a - 5b垂直, a - 4b与7a - 2b垂直,求a与b的夹角。 6、a、b为非零向量,当a + tb(tR)的模取最小值时, 1求t的值 2求证:b与a + tb垂直 【课后练习】1、若O是ABC内一点,+=0,则O是ABC的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心2、如图,正六边形中,有下列四个命题:ABCD其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号)3、如图,在中,是边的中点,则_ 4、如图,ABC的BC边的中点为M,利用向量证明:AB2+AC2=2(AM2+BM2). 向量章节测试一、选择题1已知,则是三点构成三角形的()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
7、 D.既不充分也不必要条件2已知向量,且,则的坐标是 ( )A. B. C. D. 3,则与的夹角是 ()A. B. C. D. 4在平行四边形中,若,则必有 ( ) A. B. C. 是矩形 D. 是正方形5已知,与的夹角为,则等于 ( )A. 1B.C. D.16已知下列各式:(1);(2);(3);(4),其中正确的有 ( )A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7若 ( ) A. B. C. D. 8已知,则的取值范围是 ( )A. 3,8 B. (3,8) C. 3,13 D. (3,13)9已知,则等于 ( )A. 23 B. 35 C. D. 10设,则C、D的坐标分别是
8、( ) A. B. C. D. 11已知向量且,则=( ).A B. C. D. 12已知向量( )A30B60C120D15013若,且,则向量与的夹角为( ) A.30 B.60 C.120 D.15014若三点共线,则 ( )A. B. 3 C. D. 5115已知、均为单位向量,它们的夹角为60,那么 =( ). A BC D416已知分别是的边上的中线,且,则为 ( )A. B. C. D. 二、填空题17若的方向相反,且18化简:(1)_。(2)_。(3)_。19已知向量,且A、B、C三点共线,则k= 20分别是的边的中点,且给出下列命题 其中正确的序号是_。21已知不共线,当_时,共线。22若向量与垂直,与垂直,则非零向量与的夹角是 _.23已知平面上三点A、B、C满足 则的值等于 . 24已知如果与的夹角是钝角,则的取值范围是_。三、解答题25如图,是以向量为边的平行四边形,又,试用表示。 26已知向量,求的值.27已知平面向量 证明:; 若存在不同时为零的实数和,使,且,试求函数关系式;28已知向量.求函数f(x)的最大值,最小正周期,并写出f(x)在0,上的单调区间.-