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1、 1.1因动点产生的相似三角形问题C1 2010年义乌市中考第24题如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC
2、运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图1 图2思路点拨1第（2）题用含S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）
3、题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的是直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面积，由此得到由于，所以整理，得因此得到当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为（6，3）（3）如图3，设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的GAF与GQE，有一个公共角G在GEQ中，GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF中，GAF是直线AB与x轴的夹
4、角，也为定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD由于，所以解得 图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3C2 2011年上海市闸北区中考模拟第25题直线分别交x轴、y轴于A、B两点，AOB绕点O按逆时针方向旋转90后得到COD，抛物线yax2bxc经过A、C、D三点(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q
5、为顶点的三角形与COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由思路点拨1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标3第（3）题判断ABQ90是解题的前提4ABQ与COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个满分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因为抛物线yax2bxc经过A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三点，所以 解得 所以抛物线的解析式为yx22x3(x1)24，顶点G的坐标为(1，4)（3）如图2，直线
6、BG的解析式为y3x1，直线CD的解析式为y3x3，因此CD/BG因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x1)，那么RtCOD的两条直角边的比为13，如果RtABQ与RtCOD相似，存在两种情况：当时，解得所以，当时，解得所以，图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明ABBG；二是我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GHy轴，QNy轴，垂足分别为H、N通过证明AOBBHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG90在RtBGH中，当时，在RtBQN中，当Q
7、在B上方时，；当Q在B下方时，当时，同理得到，1.2因动点产生的等腰三角形问题C3 2011年湖州市中考第24题如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）当点P从O向C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）图1 图2思路点拨1用含m的代数式表示表示APD的三边长，为解等腰三角
8、形做好准备2探求APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解3猜想点H的运动轨迹是一个难题不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？RtOHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C满分解答（1）因为PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到点D的坐标为(2，4m)（2）在APD中，当APAD时，解得（如图3）当PAPD时，解得（如图4）或（不合题意，舍去）当DADP时，解得（如图5）或（不合题意，舍去）综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为，或图3 图4 图5（3）点H所经过的路径长为C4 （10重庆潼南）如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐
9、标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.(1）求抛物线的解析式；(2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；(3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.答案：解：（1）二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1二次函数的解析式为 (2）设点D的坐标为（m，0） (0m2） OD=m AD=2-m由ADEAOC得， DE=CDE的面积=m=当m=1时，CDE的面积最大点D的坐标为（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为设y=0则 解得：x1=2 x2
10、=1点B的坐标为（1，0） C（0，1） 设直线BC的解析式为：y=kxb 解得：k=-1 b=-1直线BC的解析式为: y=x1在RtAOC中，AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=点B(1,0) 点C（0，1）OB=OC BCO=450 以点C为顶点且PC=AC=时，设P(k, k1) 过点P作PHy轴于HHCP=BCO=450 CH=PH=k 在RtPCH中k2+k2= 解得k1=， k2=P1（，） P2（，）以A为顶点，即AC=AP=设P(k, k1)，过点P作PGx轴于GAG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2(2k)2+(k1)2=5解得：k1=
11、1,k2=0(舍)P3(1, 2) 以P为顶点，PC=AP设P(k, k1)过点P作PQy轴于点QPLx轴于点L，L(k,0)QPC为等腰直角三角形， PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=kAL=k-2, PL=k1在RtPLA中(k)2=(k2)2(k1)2解得：k=P4(,) 综上所述： 存在四个点：P1（，） P2（-，） P3(1, 2) P4(,)1.3因动点产生的直角三角形问题C5(2010甘肃）(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直
12、角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设该抛物线的解析式为，由抛物线与y轴交于点C（0，3）,可知. 即抛物线的解析式为 把A（1，0）、B（3，0）代入, 得 解得. 抛物线的解析式为y = x22x3 顶点D的坐标为. 说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x22x3”不扣分.（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. 过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.在RtBOC中，OB=3，OC=3， . 在RtCDF中，DF=1，
13、CF=OF-OC=4-3=1， . 7分在RtBDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2， . 8分 ， 故BCD为直角三角形. 9分（3）连接AC，可知RtCOA RtBCD，得符合条件的点为O（0，0） 10分过A作AP1AC交y轴正半轴于P1，可知RtCAP1 RtCOA RtBCD，求得符合条件的点为 11分过C作CP2AC交x轴正半轴于P2，可知RtP2CA RtCOA RtBCD，求得符合条件的点为P2（9，0） 12分 符合条件的点有三个：O（0，0），P2（9，0）.1.4因动点产生的平行四边形问题C6 2010年河南省中考第23题在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的
