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1、圆章节知识点一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫 中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直
2、线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 n d r n 点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1 、直线与圆相离 n d r n 无交点；2、直线与圆相切 n d = r n有一个交点；3、直线与圆相交 n d R + r ；外切（图2） n有一个交点n d二R + r ；相交（图3 ） n有两个交点n R r d R + r；内切（图4） n有一个交点n d二R r ；内含（图 5） n 无交点 n d Rr；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且
3、平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： AB是直径 AB丄CDCE二DE 弧BC二弧BD 弧AC二弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等即：在。O 中，AB | CD.弧 AC 二弧 BDOAD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1 推3定理，即上述四个结论BDB中， 资料个人收集整理，勿做商业用途只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3个
4、结论，即： ZAOB 二 /DOE : AB = DE ；OC = OF :弧BA =弧BD七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：/AOB和/ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角/AOB 二 2/ACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在。O中，/C、/D都是所对的圆周角/C = ZD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧 是半圆，所对的弦是直径。即：在。O中， AB是直径或 /C二90。A/C = 90。AB 是直径 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一
5、半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，丁 OC 二 OA 二 OBABC是直角三角形或/C二90。注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 的逆定理。八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在。O中，.四边形ABCD是内接四边形ZC + ZBAD 二 180。ZB + ZD = 180。九、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MN丄OA且MN过半径OA外端 MN是。O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切
6、点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PA 二 PBPO 平分 ZBPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等即：在。O中，.弦AB、CD相交于点P ,.PA - PB = PC - PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条
7、线段的比例中项。即：在。O中，直径AB丄CD ,BPCDDCE 2 = AE - BE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切 线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。EDOCB即：在。O中，PA是切线，PB是割线 .PA2 = PC - PB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等（如上图）。即：在。O中，PB、PE是割线.PC - PB 二 PD - PE十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆 的公共弦。如图： OO 垂直平分 AB。12即：飞O。2相交于A、B两点 . O O 垂直平分 AB
8、12十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1 )公切线长：RtOO C 中，AB2 = CO2 = OO 2 CO 2 ；1 2 1 12 2( 2)外公切线长： CO2 是半径之差； 内公切线长： CO2 是半径之和十四、圆内正多边形的计算( 1 )正三角形在O中 ABC是正三角形，有关计算在 RtABOD中进行：OD : BD : OB 二 1:朽:2；( 2 )正四边形同理，四边形的有关计算在RtAOAE中进行，OE:AE:OA = 1:1:占：( 3)正六边形同理，六边形的有关计算在RtAOAB中进行，AB : OB : OA = 1: 3:2.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式：l =n兀R180n兀 R 21(2)扇形面积公式：S二 二IR3602Bn ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：( 1 )圆柱侧面展开图S = S + 2S = 2 兀 rh + 2 兀 r 2 表 侧 底AB(2 )圆柱的体积：V =n r2h( 2)圆锥侧面展开图1 ) S 二 S + S =兀 Rr + 兀 r 2 表 侧 底(2)圆锥的体积：V =
