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1、论接触体间牛顿第三定律的可演绎性Discussion on deductibility of Newtons Third Law of contact bodies 关键词：经典力学、牛顿定律、基础性、演绎 摘要：就相互接触的物体而言，经典力学体系下的牛顿第三定律不具有独立性，它可以由牛顿第 二定律通过演绎得出；同样地，可以用演绎的方法推导出在非惯性系以及在高速运动物体下的作用力与 反作用力的关系。经典力学体系下的牛顿第三定律是作为基础性定律出现的，即该定律具有完全的独 立性（不可演绎性）。然而在仰慕牛顿力学魅力的同时,我们发现，牛顿第三定律即便在经 典力学体系框架内注1，同样不具有基础性的地
2、位，因为就接触体而言（非接触体间的作用 是通过“场”的形式实现的，本文不作讨论），牛顿第三定律完全可以用演绎的方法由牛顿 第二定律推理得出。用演绎推理而不是用个案归纳，其益处不仅在于找出了牛顿二、三定律之间的联系， 更重要的还体现在对实际问题的解决上。因为下面我们会看到，在探讨非惯性参考系以及 在探讨相对论条件下的牛顿第三定律是否成立的问题时，演绎法所突显出的缜密性和简便 性。显然，演绎法对于防止因采用归纳的方法所带来的主观臆断注2具有重要意义。一、牛顿第三定律在惯性参考系中的可演绎性 牛顿定律是对宏观低速物体的表述，因此我们谈论的对象只就固体和液体，而不包括 气体，于是便可分为三种：、固体与
3、固体之间的作用；、固体与液体之间的作用；、 液体与液体之间的作用。1、固体与固体之间的作用1.1、保持同步运动状态的两个质点的相互作用（两个质点相互接触且没有相对运动 及趋势）与经典力学研究的方法相同，我们先在质点的范围内讨论牛顿第三定律的可演绎性， 然后再推广到一般的物体上去。注 1：用现代物理方法，也可以推出牛顿三定律，见文献1中 P119。注2：文献1中得出牛顿第三定律在非惯性参考系中不成立的结论，见P44、P54。图 1 、保持同步运动的两质点之间的作用力不失一般性，设 A、B 质点作变速运动，运动轨迹为任一曲线（见图 1）。并设两个质点作用的外力为F、F , A作用在B上的力为F ,
4、B作用在A上的力为F，且外力F、1 2 AB BA 1F 一定作用在同一条直线上（否则两个质点之间一定有相对运动或运动的趋势）。由于质 2点 A、 B 之间没有相对运动，因此二者应具有共同的加速度（由于两个接触的质点组成的单元仍然为质点，因此不考虑由旋转产生的加速度），设加速度为a。分别以质点A、质点B、质点组AB为研究对象，由第二定律得（参见图1）：F 一 F = m a ； F 一 F = ma ； F 一 F = （m + m ）a = ma + ma1 BA A AB 2 B 1 2 A BA B所以：F - F = F - F + F - F，即 F = F1 2 1 BA AB 2
5、 AB BA这表明，在变速运动中，质点A与质点B的作用力与反作用力遵守牛顿第三定律。1.2、两个物体保持同步的运动状态（两个物体的接触面之间没有相对运动及趋势）图2、两个物体同步运动时的作用力如图2，设物体A与物体B相互接触，接触面为C-C，在C-C面上任取一点Q，然后 在Q点左边的物体A上取一左单元体，在Q点右边的物体B上也取一右单元体，只要单元 体的体积足够小，就可以将单元体当作质点来对待。以这两个单元体为研究对象，进行受 力分析（参见图2），其中物体A对左单元体上所有力的合力为F，物体B对右单元体上所1有力的合力为F，因两个质点（单元体）没有相对运动及趋势，于是运用1.1中得到的结2论，
6、即可得出在Q这一点上，物体A、B之间力的作用力符合牛顿第三定律。可以想象，若在 C-C 面选出无数个这样的点，并将所有点处的作用力与反作用力分别求合力，也就自然 会得出物体A、B之间的作用力与反作用力遵守牛顿第三定律的结论。这里要注意，在推导这个结论时，我们并没有对物体进行刚体的假设，因此这个结论 对变形体还是非变形体（刚体）都是适用的。需要说明的是，这里的单元体具有如下的意义范围：就微观来说，单元体比起分子 或是原子来足够大，这样可以满足牛顿定律在宏观适用上的范围；就宏观来说，比起宏观 上的物体来在尺度上又是足够的小（这也是质点的概念，即质点概念实际上就是物体的大 小可以忽略不计的结果。例如
7、卫星在太空中飞行即可看作质点来对待），能满足单元体组上 各点的加速度相等的条件。1.3、两个物体的相互碰撞之所以将碰撞独立于相互作用的物体之外进行讨论，是因为物体的碰撞过程短暂且复 杂，并与 1.2 所述的情况不同，因为碰撞过程中的物体形状每时每刻都在变化。为了清楚 了解物体之间的作用力与反作用力之间的关系，应对碰撞的过程进行描述。为此我们把物 体A和物体B看成是两个变形体，并设二者碰撞时的作用面为C-C （如图3a）。LcRdx 图 3 、两个物体碰撞时的作用力按碰撞时作用面之间产生的作用力的不同，可分为正碰撞和一般碰撞，前者是在作用 面上仅产生了正压力，后者在作用面上既产生了正压力也产生了
8、摩擦力,其中正压力是物体 接触面之间直接碰撞作用的结果（此时物体在作用面上没有相对运动及趋势）。我们先来讨 论正碰撞。1.3.1、两物体正碰撞时的相互作用力两物体正碰撞的全过程可分为两个阶段：、压缩阶段：当两个物体A、B正碰撞时, 在作用面C-C的两边都发生了向C-C面靠拢的压缩变形（弹性或塑性）。、恢复阶段：在 压缩量达到最大状态后，作用面C-C两边的变形开始复原，即相对于作用面C-C的两边都 发生了变形的恢复，当变形恢复结束时，物体A、B的作用面分开，正碰撞的全过程结束。以下我们仅研究压缩阶段，对于正碰撞的恢复阶段，推导的过程完全类同。首先，在物体A距离作用面C-C的x处取一微段dx （参
9、见图3b）,对于正碰撞过程的 任一时刻，由于变形的存在，物体A上各点相对于作用面C-C上的位移量S （压缩量）是 不一样的，x值越大，同一时刻微段dx处的位移量S也越大。显然，位移量S是参数x的 连续递增函数，即S二f （x），其中函数S随着x的增大而增大，随着x的减小而减小。当微 段dx足够靠近C-C作用面时，有：limS = lim f （x） = 0，即此时微段dx位移量趋于为零，x 0x 0因此它与 C-C 的作用面应视为同步的运动状态。同理也可以得出，位于C-C作用面上右侧的物体B应该具有相同的情况。于是，我们可以把C-C作用面的左右两边假想地分割出两个薄片物体L和R，其各自 的厚度
10、均为dx，（见图3c）。只要分割出的两薄片的厚度dx足够小，即微段dx足够靠近C-C 作用面，按照上面的理论，就可以认为物体A、B碰撞时，两个分离出来的薄片物体L和R， 具有同步的运动状态。运用1.2中的结论，便可得出两个薄片L和R间的作用力与反作用 力，大小相等方向相反的结论。由于薄片之间的作用力就是物体A、B之间的正压力，因此 这就推导出了正碰撞时，物体之间产生的相互作用力符合牛顿第三定律的结论。（2）、两物体之间的一般碰撞 一般碰撞除了在接触表面间产生正压力外，还产生了由于碰撞面之间的相对运动（或 运动趋势）而产生的摩擦力。前面已经得出正压力符合牛顿第三定律，现在只要推导摩擦 力符合牛顿
11、第三定律就可以了。对摩擦现象的研究表明，摩擦力产生的根本原因，是物体接触面之间由于微观上的凸 凹不平，导致的相互碰撞的结果，正如恩格斯所说的那样，“摩擦无非是碰撞的一种形式” （这里应理解为正碰撞，见下面的补充推导）。由于物体之间的碰撞（即正碰撞）产生的作用 力与反作用力遵从牛顿第三定律，因此物体接触表面间产生的摩擦力一定也服从牛顿第三 定律。这就得出了两物体之间的一般碰撞同样服从牛顿第三定律的结论。为了进一步论证物体之间的摩擦力服从牛顿第三定律，下面进行理论上的补充推导。设物体A与物体B表面相互接触，将接触处在显微镜下放大，可以看出物体 表面接触处的凸凹不平（见图4a、4b）。设某一时刻有n
12、个点接触，选择其中的一个接触 点Q （ i二l、2.n），显然，物体A通过点Q对物体B的作用同样可视为一般碰撞，碰撞力 ii自然也包括正压力和摩擦力。将n个这样的Q点中的正压力及摩擦力分别进行合并，便得i到了一个总的正压力N和一个总的摩擦力f，我们称N为1级正压力，f为1级摩擦力，llll以区别于A、B物体接触面间的正压力N和摩擦力f （实际上N和f都是由摩擦力f分解 ll出来的）。同样地，我们把1级摩擦力f再在显微镜下放大（参见图4c）,基于上述同样的理由，可以得到2级正压力N和2级摩擦力f ,照此下去，就可以将f 分解为f和N ,22n-1nn于是有如下表达式：f = N + f = N
13、+ N + f =. = N + N +. + N + f =Hn + f（1）1112212n ni ni=1由于同一级的正压力一定大于摩擦力（摩擦系数卩远小于1），于是：N N .N12n指绝对值）， 即（ 1） 式是一个递减级数， 且 limf =0 ， 因此摩擦力 nnsf =Nii=1+ lim f =乙 Nnnns_n=1-V -+ f =乙 Nnnn=1这表明： A、 B 物体之间的摩擦力 f 可看成是由一系列正碰撞产生的正压力 Nn（n = l、2.m ）所构成的，由于正碰撞遵守牛顿第三定律，因此摩擦力同样遵守牛顿第三定 律。这里应注意，我们并没有对碰撞体进行限制，因此得到的结
14、论对于碰撞的各种情形都 是适用的。1.4、两个物体之间的复合作用（各做任一运动的两个物体产生的相互作用）两个物体之间的复合作用，是指两个物体各自处于任一运动，在相互接触的作用面之 间产生的作用力与反作用力。显然，这是物体之间作用的最一般情况。由于两个物体各为 任一运动状态，故通常情况下，在相互作用的表面之间也会产生相对运动或具有相对运动 的趋势。参见图5, (a)为A、B两物体相互作用的一般情况。以物体B为研究对象，作受力 分析图(b),显然在接触面处B受到A的两个作用力：正压力N和摩擦力f。根据力的独 立作用原理，可以将正压力和摩擦力对物体B的作用情况分开进行研究(因为这并不改变 它们之间的
15、作用结果)。图 5 、作复合运动两物体间的作用力(1) 、物体 B 受正压力的作用见图5 (c),显然，此时接触面处的B相对于A没有运动及趋势(否则物体B就会受 到A的摩擦力的作用)，于是两物体之间为同步运动状态。参照1.2中的结论，因此物体A、 B 之间的正压力一定遵守牛顿第三定律。(2) 、物体B受摩擦力的作用显然，运用 1.3中的结论可知，摩擦力也必定遵守牛顿第三定律。于是将其 A、 B 各自的正压力和摩擦力合并为一个力，自然得出此种情况下的作用力 与反作用力同样遵守牛顿第三定律的结论。2、物体与液体以及液体与液体之间的作用 只要将液体看成变形体，就不难得出以上同样的结论，这里从略。二、牛顿第三定律在非惯性参考系和相对论条件下的可演绎性这里不作全面阐述，仅就部分情况进行推导1、牛顿第三定律在非惯性参考系的可演绎性1.1、作为高等学校教材，文献2是这样定义惯性系的：“凡是牛顿运动定律适用的参照系，称为惯性参照系，而牛顿运动定律不适用的参照系，称为非惯性参照系”2。即非 惯性参考系中，牛顿定律不适用。对于牛顿定律为什么在非惯性系中不适用，现有教材都 只对第二定律的进行了说明，对第三定律并没有给出明确的表述。在文献 1中，除了与文献
