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1、已知：.（1）求; （2）判断此函数的奇偶性; （3）若，求的值.答案：（1）因为所以=（2）由，且 知 所以此函数的定义域为：（-1，1）又由上可知此函数为奇函数.（3）由知得 且 解得 所以的值为：来源：09年湖北宜昌月考一题型：解答题，难度：中档已知函数满足且-1，1时，则与的图象交点的个数是： A3 B. 4 C. 5 D. 6答案：B来源：题型：选择题，难度：中档阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数”。在实数轴R（箭头向右)上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是。这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。从的定义
2、可得下列性质：与有关的另一个函数是，它的定义是- , 称为的“小数部分”，这也是一个很常用的函数。 问题根据上文可知：的取值范围是 ； -5.2=_；问题求的和。答案：问题：的取值范围是 0 , 1 5.2 = 6 问题： 原式 =9 来源：1题型：解答题，难度：较难定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)= f(x)+ f(y)(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围答案：(1)证明：f(x+y)=f(x)+ f(y) (x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0
3、)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)= f(x)+ f(-x)，又f(0)=0，则有0= f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，3-(1+k)3+20对任意xR成立令t=30，问题等价于t2-(1+k)t+20对任意t0恒成立R恒成立命题意图与思路点拨：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转
4、化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由k3-3+9+2得上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖来源：1题型：解答题，难度：较难设x，y，zR+，且3x= 4y= 6z。(1)求证：；(2) 比较3x，4y，6z的大小答案：（1）证明：设3x= 4y= 6z=k （k0），则 （2）同（1），；，又x，y，zR+ 既k1 3x4y6z来源：1题型：解答题，难度：较难已知函数对任意实数x都有，且当时，。当时，求的表达式。证明是偶函数。试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根
5、，请说明理由。答案： f(x)= (2kx2k+2, kZ) 略 方程在1，4上有4个实根来源：题型：解答题，难度：较难若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-,+ )上递增，求证：y=f -1(x)在(-,+ )上也是增函数。答案：设x1x2, 且y1=f -1(x1), y2=f -1(x2)，则x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1y2，则因为f(x)在(-,+ )上递增，所以x1x2与假设矛盾，所以y1y2。即y=f -1(x)在(-,+ )递增。来源：08年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：中档已知函数，当点M（x，y）在的图象上运动时，点N（）在函
6、数的图象上运动.（）求的解析式；（）若函数的极小值为4，求函数的单调区间；（）若在时，恒成立，求参数a的取值范围.答案：（）.（）的单调递增区间为，单调递减区间为.（）.来源：题型：解答题，难度：较难设f(x)=|lgx|，实数a, b满足0ab, f(a)=f(b)=2f，求证：（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b4.答案：证明：（1）依题设，有|lga|=|lgb|，又ab，故lga=-lgb，可得ab=1，从而0a11，故g(b)=b3-3b2-b-1=0 若1b3，则g(b)=b2(b-3)-(b+1)0.仍与式矛盾。综上所述，可知3b0，即+-
7、a，设g(x)= +，因为g(x)在（-,+）递减，所以当x1时，g(x)-a恒成立等价于g(1)-a, 即+-a，化简得-a，所以a的取值范围是a来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？答案：方程等价于. x2+2(a-1)x+a2=0. =4(1-2a) 0，所以a1) 当a时，无解，（2）当a=时，x=不符方程。（3）当a时，x1,2=1-a. 若a=0，则满足方程的解为x1=0, x2=2.）当0a0, x10且，有2个根。）当a0时，x2=1-a-a且。综上所述，当a时无解，当0a0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga
8、2(x2-a2)有解的k的取值范围。答案：由对数性质知，原方程的解x应满足.若、同时成立，则必成立，故只需解. 由可得2kx=a(1+k2)， 当k=0时，无解；当k0时，的解是x=，代入得k.若k1，所以k0，则k21，所以0k0，所以y=2, x=4.所以方程组的解为 .来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：较难已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.答案：由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得，因为ac0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指数
9、与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档对于正整数a, b, c(abc)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.答案：由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=257.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a1.又abc，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档设p, qR+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。答案：令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 所以9 t +12 t =16 t，即1+记x=，则1+x=x2，解得又0，所以=来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。(1)函数是否属于集
