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1、已知:.(1)求; (2)判断此函数的奇偶性; (3)若,求的值.答案:(1)因为所以=(2)由,且 知 所以此函数的定义域为:(-1,1)又由上可知此函数为奇函数.(3)由知得 且 解得 所以的值为:来源:09年湖北宜昌月考一题型:解答题,难度:中档已知函数满足且-1,1时,则与的图象交点的个数是: A3 B. 4 C. 5 D. 6答案:B来源:题型:选择题,难度:中档阅读下列文字,然后回答问题:对于任意实数,符号表示的整数部分,即是不超过的最大整数”。在实数轴R(箭头向右)上是在点左侧的第一个整数点,当是整数时就是。这个函数叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。从的定义
2、可得下列性质:与有关的另一个函数是,它的定义是- , 称为的“小数部分”,这也是一个很常用的函数。 问题根据上文可知:的取值范围是 ; -5.2=_;问题求的和。答案:问题:的取值范围是 0 , 1 5.2 = 6 问题: 原式 =9 来源:1题型:解答题,难度:较难定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x,yR都有f(x+y)= f(x)+ f(y)(1)求证f(x)为奇函数;(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立,求实数k的取值范围答案:(1)证明:f(x+y)=f(x)+ f(y) (x,yR), 令x=y=0,代入式,得f(0+0)=f(0)+f(0
3、),即 f(0)=0令y=-x,代入式,得 f(x-x)= f(x)+ f(-x),又f(0)=0,则有0= f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立,所以f(x)是奇函数(2)解:f(3)=log30,即f(3)f(0),又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2), k3-3+9+2,3-(1+k)3+20对任意xR成立令t=30,问题等价于t2-(1+k)t+20对任意t0恒成立R恒成立命题意图与思路点拨:问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数,把问题转
4、化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法:分离系数由k3-3+9+2得上述解法是将k分离出来,然后用平均值定理求解,简捷、新颖来源:1题型:解答题,难度:较难设x,y,zR+,且3x= 4y= 6z。(1)求证:;(2) 比较3x,4y,6z的大小答案:(1)证明:设3x= 4y= 6z=k (k0),则 (2)同(1),;,又x,y,zR+ 既k1 3x4y6z来源:1题型:解答题,难度:较难已知函数对任意实数x都有,且当时,。当时,求的表达式。证明是偶函数。试问方程是否有实数根?若有实数根,指出实数根的个数;若没有实数根
5、,请说明理由。答案: f(x)= (2kx2k+2, kZ) 略 方程在1,4上有4个实根来源:题型:解答题,难度:较难若函数y=f(x)定义域、值域均为R,且存在反函数。若f(x)在(-,+ )上递增,求证:y=f -1(x)在(-,+ )上也是增函数。答案:设x1x2, 且y1=f -1(x1), y2=f -1(x2),则x1=f(y1), x2=f(y2),若y1y2,则因为f(x)在(-,+ )上递增,所以x1x2与假设矛盾,所以y1y2。即y=f -1(x)在(-,+ )递增。来源:08年数学竞赛专题三题型:解答题,难度:中档已知函数,当点M(x,y)在的图象上运动时,点N()在函
6、数的图象上运动.()求的解析式;()若函数的极小值为4,求函数的单调区间;()若在时,恒成立,求参数a的取值范围.答案:().()的单调递增区间为,单调递减区间为.().来源:题型:解答题,难度:较难设f(x)=|lgx|,实数a, b满足0ab, f(a)=f(b)=2f,求证:(1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0;(2)3b4.答案:证明:(1)依题设,有|lga|=|lgb|,又ab,故lga=-lgb,可得ab=1,从而0a11,故g(b)=b3-3b2-b-1=0 若1b3,则g(b)=b2(b-3)-(b+1)0.仍与式矛盾。综上所述,可知3b0,即+-
7、a,设g(x)= +,因为g(x)在(-,+)递减,所以当x1时,g(x)-a恒成立等价于g(1)-a, 即+-a,化简得-a,所以a的取值范围是a来源:08年数学竞赛专题四题型:解答题,难度:中档当a为何值时,方程=2有一解,二解,无解?答案:方程等价于. x2+2(a-1)x+a2=0. =4(1-2a) 0,所以a1) 当a时,无解,(2)当a=时,x=不符方程。(3)当a时,x1,2=1-a. 若a=0,则满足方程的解为x1=0, x2=2.)当0a0, x10且,有2个根。)当a0时,x2=1-a-a且。综上所述,当a时无解,当0a0, a1,试求使方程loga(x-ak)=loga
8、2(x2-a2)有解的k的取值范围。答案:由对数性质知,原方程的解x应满足.若、同时成立,则必成立,故只需解. 由可得2kx=a(1+k2), 当k=0时,无解;当k0时,的解是x=,代入得k.若k1,所以k0,则k21,所以0k0,所以y=2, x=4.所以方程组的解为 .来源:08年数学竞赛专题四题型:解答题,难度:较难已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx,求证c2=(ac)logab.答案:由题设logax+logcx=2logbx,化为以a为底的对数,得,因为ac0, ac1,所以logab=logacc2,所以c2=(ac)logab.注:指数
9、与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。来源:08年数学竞赛专题四题型:解答题,难度:中档对于正整数a, b, c(abc)和实数x, y, z, w,若ax=by=cz=70w,且,求证:a+b=c.答案:由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70,相加得(lga+lgb+lgc)=lg70,由题设,所以lga+lgb+lgc=lg70,所以lgabc=lg70.所以abc=70=257.若a=1,则因为xlga=wlg70,所以w=0与题设矛盾,所以a1.又abc,且a, b, c为70的正约数,所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.来源:08年数学竞赛专题四题型:解答题,难度:中档设p, qR+且满足log9p= log12q= log16(p+q),求的值。答案:令log9p= log12q= log16(p+q)=t,则p=9 t , q=12 t , p+q=16t, 所以9 t +12 t =16 t,即1+记x=,则1+x=x2,解得又0,所以=来源:08年数学竞赛专题四题型:解答题,难度:中档已知集合是满足下列性质的函数的全体:在定义域内存在,使得成立。(1)函数是否属于集