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1、中国地质大学网络（成人）教育2019年春季课程考试试卷考试科目名称：线性代数层次：专升本考试方式：工查1. 论行列式与矩阵的基本概念（1）行列式是在什么情况下引入的记号？为什么要引进行列式？行列式中行与列的地位是否 相同？计算行列式有哪些常用的计算方法（至少列举三种以上）？对角线法则适用于所有n阶的行列式计算吗？（2）克莱姆法则是求解线性方程组的一种常用的方法，请问用克莱姆法则求解线性方程组对方程组有哪两个要求？如果条件不满足，则应如何解决？答：用克莱姆法则求解线性方程组需满足两个条件： 、线性方程组中方程的个数等于未知量的个数； 、线性方程组的系数行列式不等于零.如果条件不满足：克莱姆法就失
2、效了,方程可能有解，也可能无解，未知数较多时往往可用计算机求解。（3）为了求解一般线性方程组的解，引进矩阵的记号，请问：矩阵与行列式有什么本质的区别？（20 分）答：它们最大的区别是矩阵是一个体系，表现形式为数据表格，没有明确的数值结果；行列式是 种算式，最终有一个明确的数值结果。矩阵：构成动态平衡的循环体系。可以把能量循环体系视为矩阵。聚能/平衡效应。人体可以视 为矩阵，地球可以比喻视为矩阵，宇宙也比喻的视为矩阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，也 常见于统计分析等应用数学学科中。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简 单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。行列式：在数
3、学中是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替 线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述体积的函数。行列式可以看 做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说在n维欧几里得空间中，行 列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在 微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具都有着重要的应用。2. 论矩阵及其运算（1）矩阵是在解线性方程组时引入的一种记号，矩阵运算通常包括哪些运算?（至少列出四种运算形式） 两个矩阵可以相加的条件是什么？两个矩阵可以相乘的条件是什么？答：矩阵有加减乘运算
4、，除运算相当于矩阵的逆运算。相同阶数的矩阵可以进行加减运算，如两个m Xn的两个矩阵加减即为相应位置上的元素相加减乘运算时两个矩阵阶数须满足第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同，例攵爪为m X n的，B为n X k的, C是k X啲，A与B可以相乘，A与C不可以相乘，但是B与C可以相乘；矩阵的逆运算只有非奇异的矩阵才有，即其行列式不为0。两个矩阵AB既可以相加，又可以相乘的充分必要条件是这两个矩阵是同阶矩阵。同阶矩阵：两个矩阵的行数和列数都一样（2）在矩阵的运算中并没有除法运算，则与除法运算作用相同的运算是什么运算？逆矩阵存在 的条件是什么？通常用什么样的方法求逆矩阵？ 答：1初等行变换：对
5、（AE）施行初等行变换，把前面的A化为单位矩阵，则后面的E就化为了 A7。2、伴随矩阵法：如果A可逆，则A7 = 1/|A| * （A*）其中|A|是A的行列式，AA*是A的伴随矩阵。3、如果A是二阶矩阵，倒是有简便快速的方法：主对角交换，副对角取反，再除行列式。这其实仍是伴随矩阵法。求逆矩阵通常用：矩阵的行列式不等于零，矩阵为满秩矩阵，矩阵的合同标准型是单位矩阵。3. 论向量组的线性相关性及其应用（1）向量组的线性相关性是线性代数中的重要概念，对于如何判定一组向量是否相关本课程给出了很多的判定定理.下面就最简单的三种情况，请问：如果向量组中含有一个零向量，该向量组是否线性相关？如果向量组中有
6、两个向量对应成比例，该向量组是否线性相关？若向量组线性相关，则它的部分向量组是否线性相关？（3）什么是向量组的秩？什么是向量组的极大线性无关组？极大线性无关组有何意义？答：向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩 可以引出矩阵的秩的定义。意义：只看矩阵的行向量组的极大线性无关组唯一，其意思是：设秩=r，则矩阵有r行a1,a2，an线性无关， 其他行一定都是零行（元素全部是零的行）。证明，假如还有一行azO贝0a = k1a1 +. + krar k1，kr不能全为0 （否 则a = 0例如k1z0则容易知道.。（4）有限向量组的秩与矩阵的
7、秩有着怎样的关系？如何求向量组的秩？（20分）答：向量组的秩：指的是其最大线性无关组中的向量个数。矩阵的秩：指的是最大非零子式的阶数。虽然这两个定义不一样，但是将矩阵的行看作是行向量，这个行向量组的秩却和矩阵的秩一样。同样的，列向量组的秩却 和矩阵的秩也一样。所以它们在这样的联系下可以看作是相等的。求向量组的秩:把向量按列的方式构造一个矩阵2.用初等行变换化成梯矩阵（注意:只能用行变换）3.非零行的首非零元所 在的列就是向量组的一个极大无关组。4. 论线性方程组的解的结构与计算无论是在科学研究领域，还是在工程技术应用中，大量的问题可以归结为线性方程组的求解，因 此研究线性方程组的求解问题是线性
8、代数的一个重要内容.（1 ）请描述齐次线性方程组AX=O的解的结构定理 （即什么条件下只有唯一的零解？什么条件下有无穷多组非零解，此时的非零解由什么组成？）答：当R（A）=n时，只有零解；当R（A）n时，有无穷多非零解此时存在基础解系a1,.,an-r。AX=0的全部解为k1a1+.+kn-ran-r（2）请描述非齐次线性方程组AX=b的解的结构定理（即利用系数矩阵与增广矩阵的秩的关系，给出在:什么条件下无解？什么条件下有唯一解？什么条件下有无穷多组解，此时的解由哪两 部分组成？）答：系数矩阵与增广矩阵的秩不同，非齐次线性方程组无解；系数矩阵与增广矩阵的秩相同，且秩=未知数个数，非齐次线性 方
9、程组有唯一解；系数矩阵与增广矩阵的秩相同，且秩未知数个数，非齐次线性方程组有无穷多组。（3）请利用齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构定理讨论：若齐次线性方程组AX=0o有 无穷多组解，则非齐次线性方程组AX=b是否也必有无穷多组解？ （20分）答：不一定，也可能无解。例如齐次线性方程组x+y= 0，2x+2y = 0有无穷多解，而非齐次线性方程组x+y= 1，2x+2y = 3就无解。因非齐次线性方程组Ax = b有解的条件是r（A, b） = r（A）.5. 论特征值与相似变换（1 ）个n阶方阵A必有n个特征值，则这n个特征值相加或相乘，与矩阵A有怎样的关系？如果一个n阶方阵A可逆，
10、则它的n个特征值又具备什么样的性质？ （2）两个n阶方阵A与B相似的定义是什么？它们的特征值之间又有什么关系？(o o 1YJ= 020(1 0 J(3 )若矩阵与Zv 00 5=( 0 20(o 0 -1 I相似，请利用上面的性质求5、(1)记n阶矩阵A的n个特征值为ml m2 . mn,贝矩阵A的迹 t r(A)二m1+m2+m3+mn矩阵A的行列式的值|A|=m1*m2*.*mn(2) 两个n阶矩阵(不是方程)A与B相似的定义是：存在可逆矩阵P,使得P(-1)AP=B成立。 相似矩阵A与B的特征值相同。当A有n个线性无关的特征向量时，可以保证其与一个对角矩阵 相似。特别是如果矩阵A没有重特征值，或A是实(3) 无
