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1、微专题 18 小船过河问题【核心要点提示】 小船渡河问题分析（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.（2）三种速度：V（船在静水中的速度）、v2（水流速度）、v（船的实际速度）.（3）三种情景 过河时间最短：船头正对河岸时渡河时间最短，短弋d为河宽）. 过河路径最短（v2VV时）：合速度垂直于河岸时，航程最短，$短=么船头指向上游与河岸夹 角为a, cos a=厶.v1 过河路径最短（v2V时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图 所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线， 则合速度沿此切线方向航程最短由图可知
2、：cos a=；1,最短航程：s短二急=冋.微专题训练】v2短 cos a v1如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线 返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA = OB。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为（）甲 乙水流方向rifl7仍B.D.无法确定A. t t甲乙解析：选 C设水速为v0，人在静水中的速度为v，OA = OB =x。对甲，Of Ax阶段人对地的速度为（v+v0）,所用时间; A-O阶段人对地的速度为（v-v0），所用时间。所以甲所用时间t甲=人+=子+亠=匚牛。02 vv0甲 1
3、2 vv0 vv0 v2v02对乙，OB阶段和BO阶段的实际速度v为v和V。的合成，如图所示。由几1，即t何关系得，实际速度v=Jv2-v02,故乙所用时间 t乙 vv2v02t-甲= t乙vv2 V 20t ，故 C 正确。甲乙一小船渡河，已知河水的流速与距河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，贝）A. 船渡河的最短时间75 sB. 要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线C. 要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直D. 要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5 m/s【解析】当船的速度与河岸垂直时，渡河时间最短，t=30
4、0 s = 75 s,故A正确；船在v船 4 沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线运 动，故B错误；要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直，故C 错误；要使船以最短时间渡河，船在航行中与河岸垂直，根据速度的合成可知，船在河水中 的最大速度是5 m/s，故D错误.【答案】 A巩固习题】1. （2014.四川4）有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河.小明驾着小船渡河， 去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直.去程与回程所用时间的比值为k,船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（） .kv _v
5、-kv _vA.B.C.D.k211-k21-k2k21【解析】设大河宽度为d小船在静水中的速度为v,则去程渡河所用时间t=j，回程渡0 1 v0河所用时间t2=22.由题知,=k,联立以上各式得v=，选项B正确，选项A、C、D错误.答案】 B2. 艘船在一条河流中渡河，当河水不流动时，船垂直渡河用时当发生山洪后，在流动的 河水中，船在同一位置垂直河岸渡河用时为（设船相对于静水的速度一定，水速是船相对于 静水的速度大小的一半）（ ）AA；2t1B. 2 C.Y%【解析】设河宽为L船相对于静水的速度为v,则河水不流动时，船垂直渡河时间：=吕当河水速度为2时，要垂直河岸渡河，则有：v2- 2 2
6、= *v，船垂直渡河时间:_L_L L_ 2 逅尸=直=石V = 3选项D正确.答案】 D3如图所示，船从A点开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37角，水流速度为4 m/s，则船从 A 点开出的最小速度为()A. 2 m/sC. 3 m/s答案】 BB. 2.4 m/sD. 3.5 m/s解析：选B设水流速度为V,船在静水中的速度为v2,船沿AB方向航行时，运动的分解 如图所示，当k与AB垂直时，k最小，K . =Ksin 37 = 2.4 m/s,选项B正确。222min 14. 如图所示，河的宽度为L,河水流速为v水甲、乙两船均以静水中的速度v同时渡河。出 发时两船相距2L,甲、乙船
7、头均与岸边成60角，且乙船恰好能直达正对岸的A点。则下 列判断正确的是()2LA. 甲船正好也在A点靠岸B. 甲船在A点左侧靠岸C. 甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇D. 甲、乙两船到达对岸的时间相等答案 BD解析甲、乙两船垂直河岸的速度相等，渡河时间为t=vsiLo，乙能垂直于河岸渡河，对L2 乙船则有v水= vcos60,可得甲船在该时间内沿水流方向的位移为（vcos60+v 水）VSin60=3诟LV2L,甲船在A点左侧靠岸，甲、乙两船不能相遇。综上所述，A、C错误，B、D正确。5. （多选）河水的流速随离河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关 系如图乙所示，若要使船
8、以最短时间渡河，则（）A. 船渡河的最短时间是60 sB. 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C. 船在河水中航行的轨迹是一条直线D. 船在河水中的最大速度是5 m/s解析：要使船以最短时间过河，船头应始终与河岸垂直，t . =d =100 s,选项A错误，min v船B正确；船的轨迹由合速度确定，因v船丄v 水, v 水发生变化，则合速度的大小和方向均发生船水水变化，轨迹是曲线，选项C错误；v =寸42+32 m/s = 5 m/s，选项D正确。m 片答案： BD6. （2016辽宁辽阳市高三质检）小河宽为d河水中各点水流速度与各点到较近河岸边的距离4v成正比，v =kx，k=4ve，x是各
9、点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度 水d为v0，则下列说法中正确的是（）A. 小船渡河时的轨迹为直线B. 小船渡河时的轨迹为曲线dc.小船到达距河对岸4处，船的渡河速度为5v0D.小船到达距河对岸3d处，船的渡河速度为.Tov0【解析】小船在沿河岸方向上做变速直线运动，在垂直于河岸方向上做匀速运动，合加速度 的方向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，故B正确，A错误；小船到达距河 对岸4处，水流速为v水=k4=v0,则v=：v2+v2=、；2v0。故C正确；小船到达距河对岸34处， 水流速为v水=弓（一） = v0，则船的速度v=：v0+v2=|l2v0，故 D错误。【答
10、案】BC7. （多选）如图 7甲、乙所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动，且向他左侧的固定目标拉弓放箭.假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭的速度为v2,跑道离固定目标的最近距离OC=d.若不计空气阻力的影响，要 想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则()运动员放箭处离目标的距离ABCD运动员放箭处离目标的距离为 +2 dv2箭射到固定目标的最短时间为吕 v2箭射到固定目标的最短时间畑V22_ V2【解析】联系“小船渡河模型”可知，射出的箭同时参与了 V、v2两个运动，要想命中目标且 射出的箭在空中飞行时间最短，箭射出的方向应与马运动的方向垂直，故箭射到固定目标的最短时间为t=V，箭的速度v= V2:冷V2 + V22,所以运动员放箭处离固定目标的距离为X = Vt=Jd, B、C 正确.V2答案】 BC
