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1、公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 !-阶乘 ,如9!9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2).(n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为n(n-r+1)r举例:Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数?A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。 上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合, 我们可以这么看,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数
2、则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。计算公式P(3,9)9*8*7,(从9倒数3个的乘积)Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”?A2: 213组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。 上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1 设有3名学生和4个课外小组(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生
3、参加各有多少种不同方法? 解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有 种不同方法 (2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有 种不同方法 点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算 例2 排成一行,其中 不排第一, 不排第二, 不排第三, 不排第四的不同排法共有多少种? 解 依题意,符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出: 符合题意的不同排法共有9种 点评 按照分“类”的思路,本题应用了加法原理为把握不同排法的规律,“
4、树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型 例判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果 (1)高三年级学生会有11人:每两人互通一封信,共通了多少封信?每两人互握了一次手,共握了多少次手? (2)高二年级数学课外小组共10人:从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法? (3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积? (4)有8盆花:从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?从中选出2盆放在教室
5、有多少种不同的选法? 分析(1)由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题其他类似分析 (1)是排列问题,共用了 封信;是组合问题,共需握手 (次) (2)是排列问题,共有 (种)不同的选法;是组合问题,共有 种不同的选法 (3)是排列问题,共有 种不同的商;是组合问题,共有 种不同的积 (4)是排列问题,共有 种不同的选法;是组合问题,共有 种不同的选法 例证明 证明 左式 右式 等式成立 点评这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质 ,可使变形
6、过程得以简化 例5化简 解法一原式 解法二原式 点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两个性质,都使变形过程得以简化 例6解方程:(1) ;(2) 解 (1)原方程 解得 (2)原方程可变为 , , 原方程可化为 即 ,解得 第六章排列组合、二项式定理 一、考纲要求 1.掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示 (一)加法原理乘
7、法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报名方法共有多少种?解:5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都有3种不同的 报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有33333=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有
8、重复数字的五位数,其中小于50 000的 偶数共有()A.60个B.48个C.36个D.24个解因为要求是偶数,个位数只能是2或4的排法有P12;小于50 000的五位数,万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后,中间3个位数的排法有P33,得P13P33P1236(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解:将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种,即214 3,3142,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;将数字1填入第4方格,也对应3种填法,因此共有填法为3P13=9(种).